Кратные интегралы. Двойной интеграл

Классы интегрируемых функций

1.Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на компакте D функция интегрируема на D.

  Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения D={Dk}

S(f,D) - s(f,D) =, wk (f) = Mk – mk .

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда

S(f,D) - s(f,D) =<=e .

Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов интегрируема.

Без доказательства.

Теорема 3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция F(M)= интегрируема на D и

=.

Доказательство. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|£ M. Пусть e0 >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы ¶D c площадью m(U) < e0 , ¶DÌ U . Можно показать, что существует e раздутие границы ¶D , лежащее внутри U. e раздутие границы ¶D , представляющее собой объединение e окрестностей всех точек границы обозначим через Ue . Так как функция интегрируема на D, то существует d такое, что

S(f,DD)-s(f,DD) < e0 при l(DD)<d, (1)

 где DD – разбиение области D. Пусть разбиение DP области P выбрано с характеристикой l(DP)< min(d,e) . Разобьем для разность сумм Дарбу на три суммы

S(f,DP)-s(f,DP)= =å¢ +墢 +墢¢.

В первой сумме å¢ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения Pk пересекаются с границей ¶D. Ко второй сумме 墢 относятся слагаемые, для которых Pk содержаться в D, за исключением попавших в первую сумму. В третьей сумме 墢¢ остаются все остальные слагаемые. Отметим, что в эту сумму попадают слагаемые, равные нулю. Условие l(DP)<e позволяет сделать заключение, что таким образом будут собраны все слагаемые. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.

墢 < e0 в силу (1).

墢¢ = 0, так как в области, где проходит суммирование f=0.

å¢ < 2M墢¢mPk <2Mm(U) < 2M e0.

Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости.

Для доказательства равенства = следует выбрать сходящуюся последовательность интегральных сумм для f и P так, чтобы sm(F)= sm(f) . Для этого нужно выбрать сходящуюся последовательность интегральных сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области и подходящим образом подобрать промежуточные точки. А именно, для слагаемых, не попавших в sm(f) промежуточную точку следует выбрать исходя из условия f()=0. В этом случае интегральная сумма по множеству P будет совпадать с интегральной суммой по множеству D.

Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej  , y s =ei.

Определение. Функция F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) от p контравариантных и q ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (p,q) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (p,q),(r,s) дает форму типа (p+r, q+s) H(x1,x2,…,xp+r,y1,y2,…,yq+s)=

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) G(xp+1,xp+2,…,xp+r,yq+1,yq+2,…,yq+s).

 Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа Производная функции, заданной параметрически

  =.

Рассмотрим наборы векторов x1=, x2=,…, xp=,y1=, y2=,…, yq=. Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====.

Таким образом, полилинейная форма типа (p,q) является тензором типа (p,q).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq), рассмотрим новую форму

G(x2,…,xp,y2,…,yq)= F(ea ,,x2,…,xp,ea,y2,…,yq).

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea ,ea). Имеем = и = и F()=F(,)=F(,)=F(,)=F(,).

Полилинейная форма G(x2,…,xp,y2,…,yq) называется сверткой. Координатами этой формы будут

= =

Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.