Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы 1-го порядка

Набла  = i + j + k .

  u= i + j + k = grad u.

Свойства

f(u) = f¢(u) u.

Пример 1. r= i x + j y + k z, r = , r = r / r.

Пример 2. =-3 r = -3  r .

Криволинейные интегралы

Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n-связной, если ее граница распадается на n- связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.

До конца этого пункта будем считать, что область D - открытое и односвязное множество, а функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в замыкании D вместе со своими производными , . О формулах Френе

Лемма. Для того, чтобы интеграл

  (4)

( A, B – любые точки из D ) не зависел от пути интегрирования ( а только от начальной и конечной точек A, B ) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю

=0.

Доказательство (необходимость). Пусть (4) не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых AB=G2 , AB=G1 , C= + G2 .

По условию =, кроме того =, поэтому =+=-=0. Для доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB=G2 , AB=G1 соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C= + G2 . По условию =0 , откуда, с учетом соотношения =+=-, следует требуемое равенство =.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы

в области D. (5)

Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет

=0,

откуда по лемме следует требуемое утверждение.