Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.

Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу

S(f,D) - s(f,D) ® 0 при l(D)®0.

Т. е.

$  Û  "e>0$d>0"D,l(D)<d: S(f,D) - s(f,D)<e.

Доказательство. Необходимость. Пусть интегрируема и J=. Возьмем какое-либо e>0 для него $d>0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство

|J - s(f,D,X)|<e/3 ( независимо от выбора XÎD ).

так как s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X), то

 |S(f,D) - J|£ e /3, |J - s(f,D)|£ e /3

тогда

 |S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ 2e /3<e .

Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и

s(f,D) £ £ £ S(f,D), = sup s(f,D), = inf S(f,D).

Так как  (S(f,D) - s(f,D)) = 0 , то = . Положим J = = , при этом |s(f,D,x) – J | £ S(f,D) - s(f,D). Откуда и следует требуемое утверждение.

Полилинейные формы и их связь с тензорами

Пусть Х – евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением) размерности n и Х* его сопряженное пространство, отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1). Обозначим xk = ej  , y s =ei.

Определение. Функция F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) от p контравариантных и q ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (p,q) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.

Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (p,q),(r,s) дает форму типа (p+r, q+s) H(x1,x2,…,xp+r,y1,y2,…,yq+s)=

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq) G(xp+1,xp+2,…,xp+r,yq+1,yq+2,…,yq+s).

 Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа Производная функции, заданной параметрически

  =.

Рассмотрим наборы векторов x1=, x2=,…, xp=,y1=, y2=,…, yq=. Координаты полилинейной формы в новом базисе = и = будут равны

====.

Таким образом, полилинейная форма типа (p,q) является тензором типа (p,q).

Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.

Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq), рассмотрим новую форму

G(x2,…,xp,y2,…,yq)= F(ea ,,x2,…,xp,ea,y2,…,yq).

Докажем, что это определение не зависит от выбора базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq фиксированы, то достаточно рассмотреть F(ea ,ea). Имеем = и = и F()=F(,)=F(,)=F(,)=F(,).

Полилинейная форма G(x2,…,xp,y2,…,yq) называется сверткой. Координатами этой формы будут

= =

Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.