Поверхностные интегралы 2-го рода

Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Введем следующие обозначения dS=ndS=(cos a, cos b, cos g) dS. Это позволяет использовать краткое обозначение для интеграла 2-го рода

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (V,dS).

Формула (2) в этих обозначениях выглядит следующим образом

(V,dS) = (V,n) dS (2)

1) (V,dS) = -(V,dS)

2) (aV + bW, dS) = a(V, dS) + b(W, dS)

3) (V,dS) = (V,dS) + (V,dS)

4) |(V,dS)| £ max |V|mF

Все эти свойства являются следствием соответствующих свойств интеграла 1-го рода и формулы (2).

Поверхностные интегралы 2-го рода

Связь с интегралом 1-го рода

Как отмечалось ранее mFk==или

mDk= . Отметим, что sign cos gk = sign cos hk . Поэтому Кривизна пространственной кривой Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

s = sign cos gk =   sign cos hk =

cos hk =cos gk +(cos hk - cos gk ) .

Первая сумма является интегральной для , вторая сумма стремится у нулю при неограниченном измельчении разбиения. Последнее утверждение следует из ограниченности функции f (первая теорема Вейерштрасса) и равномерной непрерывности функции cos g (x,y,z) (функция – косинус угла между нормалью к поверхности и осью z является непрерывной функцией на поверхности). Таким образом, мы получаем формулу, связывающую поверхностные интегралы 2-го и 1-го рода

  = . (1)

Определение. Поверхность, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости будем называть поверхностью типа А. Поверхность называется допустимой, если она непрерывно дифференцируема, имеем везде ненулевую нормаль и допускает разбиение на конечное число поверхностей типа А.

 Для допустимых поверхностей Ф, доказанная формула будет верна по отношению ко всем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R), то

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (P cos a +Q cos b + R cos g) dS , (2)

где cos a , cos b, cos g - направляющие косинусы нормали к поверхности.