Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы 1-го рода

Площадь поверхности, заданной уравнением z=f(x,y)

Будем предполагать, что функция f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными ,  в области D. Обозначим эти производные p=, q=. Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид  Z – z = p (X – x) +q(Y – y). Нормаль =±(p, q, -1), . Направляющие косинусы нормали равны

cos(,) = cos a = ±, cos(,) = cos b = ±, cos(,) = cos g =.

 Разобьем D на {Di} . Цилиндры с основаниями Di вырезают на поверхности области Si = {(x,y,z): (x,y)ÎDi , z = f(x,y) }.

На Sk выберем промежуточную точку Mk(xk ,hk , zk) , zk = f(xk ,hk ). В этой точке построим касательную плоскость. Цилиндр с основание Dk вырезает на этой плоскости фигуру Tk с некоторой площадью mTk . Известно, что

mDk = mTk |cos(,)|.

Таким образом

mTk =mDk.

За площадь поверхности z=f(x,y) принимается число

mS====

Замечание 1. Координаты равноправны, в частности, для поверхности y=j(x,z) получим

mS=

Замечание 2. Для вычисления площади поверхности не представимой ни с одном из видов z=f(x,y), y=j(x,z), x=y(y,z) можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных типов.

Выражение операций теории поля в криволинейных координатах

Введение.

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения. С исходной декартовой системой координат xyz ( или x1x2x3 ) связана криволинейная система координат x1x2x3 отображением

  или

Обозначим

ri = . Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Выражениеградиента в криволинейных координатах

Для скалярного поля u градиент в декартовой системе координат равен

grad u = . По формуле дифференцирования сложной функции

  =(grad u , ri ) = ui . По формулам Гиббса

grad u = (grad u , ri ) ri =ui ri .

Откуда

grad u = ui ri = ui  = ui .

Выражение дивергенции в криволинейных координатах

Отметим, что для взаимно обратных отображений

 и  согласно правилам дифференцирования сложных функций справедливы соотношения  или в матричном виде

== .

Таким образом, вектора  являются сопряженными к

ri = , т. е. rj =, ei =  .

Обозначим V = Pi +Qj + Rk , Vi == , тогда

div V = =++=

= +

+ +

+  = (V1,r1)+(V2,r2)+(V3,r3) = (Vk,rk) =

=.

В ряде случаев приходится рассматривать разложение исходного поля V по базису ek : V = ek Ak . В этом случае предварительно вычисляют производные Vk и полученные выражения подставляют в формулу для данной операции, например, в формулу div V =. Можно показать, что div V = .