Кратные интегралы

Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пример 1 Цилиндрические координаты

, x2+y2=z2, 0 £ z £ 1

, |I| = r.

В этом случае D = {(r,j,h): 0 £ j £ 2p , 0 £ r £ z , " zÎ[0,1]} .

== ===.

 Интегралы, зависящие от параметра

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл Кривизна плоской кривой Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

  (1)

, yÎY.

Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого hÎ[a,b) интеграл  (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие  не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

"e >0$d >0"hÎ(b-d,b)"yÎY:  (для интеграла 2-го рода)

"e >0$M"hÎ(M,+µ)"yÎY:  (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости (для интеграла 2-го рода)

Если $g(x) на [a,b), интегрируемая на любом [a, h), hÎ(b-d,b) такая, что

1) |f(x,y)| £ g(x), a £ x < b, "yÎY

2)  сходится ,

то интеграл (1) сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .