Условный экстремум Достаточные условия.

Пусть в точке x0= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df=f(x) – f(x0) при условии, что xÎD1 (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек DFI = 0, поэтому Df = DL, и вопрос исследования поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL. По формуле Тейлора

DL = , eij®0 при Dxi®0.

Если выразить «зависимые» Dxi через Dxi независимых переменных (это можно сделать продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , hij®0 при Dxi®0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .

Пример 1. Частный случай

, L=f+lF, dL=0 (необходимое условие)

, DL=d 2L+er,

0=dF=, dy=-dx, после подстановки получим

DL = BDx2+o(Dx2). В зависимости от полученного коэффициента B можно сделать вывод о наличии условного экстремума.

Пример 2.

u=x2+12xy+2y2, 4x2+y2=25.

L=x2+12xy+2y2+l(4x2+y2-25), dL=(2x+12y+8lx)dx+(4y+12x+2ly)dy,

, , 4l2+9l-34=0, l1,2=2;.

l1=2, ,3x+2y=0, y=-x,

4x2+x2=25, x2=25, x=±2,

l1=2, точки (2,-3), (-2,3).

l2=,,-8x+3y=0, y=x, 4x2+x2=25, x2=25, x=±.

l1=, точки (,4), (-,-4).

d2L=(2+8l)dx2+24dxdy+(4+2l)dy2, 8xdx+2ydy=0, dy = -4dx.

(2,-3), l=2

d2L=(2+16)dx2-24·4dx2+8·16dx2=[18+64+…]dx2 минимум.

Пример 3 (3659). u = x – 2y + 2z, x2 + y2 + z2 = 1

L = x – 2y + 2z +l( x2 + y2 + z2 – 1)

dL =(1 + 2l x)dx +( – 2 + 2l y)dy +(2 + 2l z)dz,

d 2L = 2l dx2 + 2l dy2 + 2l dz2

1 + 2lx = 0, -1 + l y = 0, 1 + l z =0,

  x = , y = , z = , подставляя в уравнение связи найдем l = ±3/2

(-1/3, 2/3, -2/3) l = 3/2

(1/3, -2/3, 2/3) l = -3/2, дифференцируя уравнение связи получим

xdx+ydy+zdz = 0, dz = , dz2 = …,

  d 2L = … = < главные миноры , 9l2.

 Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование Метод активных и реактивных составляющих токов Электротехника курсовая работа

Разложение дроби на элементарные Теорема Ролля Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

 ,

где - правильная дробь.