Интегральное исчисление

Интегрирование некоторых иррациональностей

  1.

  Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией.

Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже

=

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g. В рассмотренном выше примере m=18.

2. Подстановки Эйлера

a) a>0,

В этом случае ax2+bx+c=ax2+2 xt+t2, откуда -рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R1(t)-рациональная функция от t. Кроме того dx=R2(t)dt.

b) Корни x1,x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда ax2+bx+c =a(x - x1)(x - x2).

Если x1 = x2 , то =|x – x1| и иррациональность отсутствует. Если x1 ¹ x2, то полагают  и задача сводится к ранее рассмотренной

.

В этом случае можно так же сделать замену .

c) c>0

. В этом случае

ax2+bx+c= x2t2+2 xt+ с, ax+b= xt2 +2t, - рациональная функция. После замены получим

=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.

Можно показать, что этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи (если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c<0 для всех x).

Условный экстремум Достаточные условия.

Пусть в точке x0= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df=f(x) – f(x0) при условии, что xÎD1 (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек DFI = 0, поэтому Df = DL, и вопрос исследования поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL. По формуле Тейлора Правило Лопиталя Примеры решения и оформления задач контрольной работы

DL = , eij®0 при Dxi®0. Теорема Лагранжа

Если выразить «зависимые» Dxi через Dxi независимых переменных (это можно сделать продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , hij®0 при Dxi®0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .