Неявные функции

Существование неявной функции одного переменного.

Пусть F(x,y) определена в окрестности U(M0) точки M0=(x0,y0) . Если

$d > 0 " xÎ(x0 - d, x0 + d) $ yx : F(x, yx )=0 ,

то говорят, что уравнение F(x,y) = 0 определяет на (x0 - d, x0 + d) неявную функцию y =yx = f(x). По определению

F(x, f(x))=0 " xÎ (x0 - d, x0 + d). См. ch6_2_1.swf.

Геометрический смысл. В окрестности точки M0 график функции y=f(x) представляет собой линию пересечения поверхности z=F(x,y) с координатной плоскостью z=0 (См. ch6_2_1_.swf).

Теорема 1. Пусть

F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0),

F(M0)=0,

.

Тогда существует окрестность (x0 - d, x0 + d) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

" xÎ (x0 - d, x0 + d) : F(x,f(x))=0 и y0 = f(x0).

Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производная определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Выберем квадрат B=[x0 - d¢, x0 + d¢]´[y0 - d¢,y0 + d¢] содержащийся в U(M0) и такой, что в нем . Тогда функция F(x0,y) строго возрастает на [y0 - d¢,y0 + d¢]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F(x0, y0 - d¢) < 0 , F(x0, y0 + d¢) > 0. Функции F(x, y0 - d¢) , F(x, y0 + d¢) непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x0 . таким образом, существует d < d¢ " xÎ ( x0 - d, x0 + d) : F(x, y0 - d¢) < 0 , F(x, y0 + d¢) > 0 . Тогда для "  Î ( x0 - d, x0 + d) функция F(,y) имеет на [y0 - d¢ , y0 + d¢] единственный ноль , F(, ) = 0 (промежуточное значение строго монотонной функции). Функция f : ® , действующая на ( x0 - d, x0 + d) является искомой. В силу единственности нуля f(x0) = y0. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнение F(x,y)=0 в окрестности ( x0 - d, x0 + d). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M0 справедливо равенство

DF=.

Если в этом равенстве положить Dy=Df=f(x) – f(x0), то DF = 0. Откуда

. Переходя к пределу при M®M0 получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C1 в некоторой окрестности точки x0 .

 Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование Метод активных и реактивных составляющих токов Электротехника курсовая работа

Разложение дроби на элементарные Теорема Ролля Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

 ,

где - правильная дробь.