Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения коэффициентов разложения (*) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.

Пример.

1 = A(x2+4x+4)+B(x2+x-2)+C(x-1)

A+B=0

4A+B+C=0

4A-2B-C=1,

  A=-B, 3A+C=0,6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.

4.Вычисление интегралов от элементарных дробей

I. Дроби вида .

для a¹1 и

II. Дроби вида .

b=1

, где u=x+p/2,a2=q-p2/4. Далее ln ( u2+a2 )+С.

+C.

b>1.

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

===.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, ,

позволяющее вычислять интегралы Jn .

Условный экстремум Достаточные условия.

Пусть в точке x0= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df=f(x) – f(x0) при условии, что xÎD1 (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек DFI = 0, поэтому Df = DL, и вопрос исследования поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL. По формуле Тейлора Правило Лопиталя Примеры решения и оформления задач контрольной работы

DL = , eij®0 при Dxi®0. Теорема Лагранжа

Если выразить «зависимые» Dxi через Dxi независимых переменных (это можно сделать продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , hij®0 при Dxi®0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .