Геометрический смысл дифференциала.

df = A (x – x0 ) + B(y – y0)

есть приращение аппликаты на касательной плоскости, см. рис. ch5_4_2.swf.

3.Различные способы задания поверхностей.

Поверхность – это отображение вида j : R2 ® R3 .

Явное задание

z = f(x,y), (x,y) Î D.

Параметрическое задание

, w = j(t), wÎR3, tÎR2.

Пусть все три функции, определяющие эту поверхность (отображение j ) из класса C1 (класс непрерывно дифференцируемых функций ). Матрица Якоби отображения j определяется следующим образом

 , (u,v)Î D . Обозначим ее миноры второго порядка F23 , F31 , F12 .

, , .

Предположим, что вектор n = (F23 , F31 , F12) ¹ 0 в точке P0(x0,y0). Можно показать, что в этом случае в точке M0(x0,y0,z0) где x0 = x(P0), y0 = y(P0), z0 = z(P0), существует касательная плоскость к поверхности, имеющая нормалью вектор n . Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид

F23(x – x0) + F31(y – y0) + F12(z – z0) = 0.

Неявное задание

F(x,y,z) = 0.

Уравнение касательной плоскости в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид

.

Свойства определенного интеграла

Простейшие свойства Методика расчёта линейных электрических цепей переменного тока Электротехника курсовая работа

Если f и g интегрируемы на [a,b], то f + g также интегрируема на [a,b] и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на [xk,xk+1] , w¢¢k колебание функции g на [xk,xk+1] , wk колебание функции f+g на [xk,xk+1] . Тогда

wk =sup|f(x¢)+g(x¢) – f(y¢) – g(y¢)|£ sup(|f(x¢)– f(y¢) |+| g(x¢)– g(y¢)|)£ 

£ sup|f(x¢) - f(y¢)|+ sup|g(x¢) – g(y¢)|=w¢k + w¢¢k . Отсюда

S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk .