Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что

 ,

где - правильная дробь.

Доказательство:  Рассмотрим разность (A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ1(x) меньше порядка знаменателя. Положим , тогда для числителя число a будет корнем P-AQ1=(x-a)P1(x), что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и w=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x2+px+q)bQ1(x), Q1(w)¹0,b ³1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P1(x) с вещественными коэффициентами  такие, что

 ,

где - правильная дробь.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и

разложение многочлена по парно простым корням

a1,a2,…,ar,w1,w2,…,ws, (x-wk)(x-)=x2+pkx+qk

кратностей a1,…,ar,b1,…,bs . Тогда существуют вещественные числа такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (*)

Доказательство. По лемме 1

=++…++.

В последнем слагаемом знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

Определение. Дроби вида

называются элементарными.

Доказанная теорема утверждает, что всякая правильная дробь может быть разложена на элементарные дроби.

Условный экстремум Достаточные условия.

Пусть в точке x0= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df=f(x) – f(x0) при условии, что xÎD1 (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек DFI = 0, поэтому Df = DL, и вопрос исследования поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL. По формуле Тейлора Правило Лопиталя Примеры решения и оформления задач контрольной работы

DL = , eij®0 при Dxi®0. Теорема Лагранжа

Если выразить «зависимые» Dxi через Dxi независимых переменных (это можно сделать продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , hij®0 при Dxi®0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .