Несобственные интегралы

Свойства несобственных интегралов.

Формула замены переменного

Пусть f(x) непрерывна на [a,b) (b - число или символ +¥), j(t) – непрерывно-дифференцируема и строго монотонно возрастает на [a,b), a < b £ ¥, причем a = j(a), , тогда

.

Доказательство. В силу строгой монотонности функции j(t) для "RÎ[a,b)$r:j(r)=R. Далее следует перейти к пределу в равенстве

, (r®b, R®b).

Замечание 1. В формуле замены переменной функция j может быть строго монотонно убывающей. Тогда в формулировке теоремы появятся соответствующие изменения j(b)=a, , .

Замечание 2. Формула замены переменного справедлива и без условия монотонности функции j.

Замечание 3. Несобственный интеграл I – рода может быть подходящей заменой сведен к несобственному интегралу II – рода и наоборот.

Пример. .

При таких заменах вновь полученный интеграл может оказаться собственным.

Пример. .

Несобственные интегралы

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости. Метод активных и реактивных составляющих токов Электротехника курсовая работа

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла   необходимо и достаточно, чтобы "e>0$M"R¢,R¢¢:<e. Производные и дифференциалы высших порядков Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела  ("e>0$M"R¢,R¢¢ >M:|F(R¢¢)-F(R¢)|<e).

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f(x) £ g(x) , то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится