Площадь плоской области

Вычисление площадей областей, граница которых задана в полярных координатах.

Предполагаем, что доказана квадрируемость кругового сектора радиуса r , заключенного между двумя лучами ( с углами a, b) и известно, что его площадь равна . Рассмотрим более общий случай области, заключенной между этими лучами и непрерывной кривой, заданной в полярных координатах r=r(j) (см. рис. 2_10_41.swf).

Теорема. Криволинейный сектор, определяемый лучами углов a, b и непрерывной кривой r=r(j) квадрируем и его площадь вычисляется по формуле

mD=. (3)

Доказательство. Интеграл справа в (3) существует, поэтому для заданного e существует разбиение D={a=j0<j1<…<jn=b} такое, что S(f,D) – s(f,D) < e. Здесь f(j)=. Нижняя сумма Дарбу представляет собой сумму величин вида , где mk – радиус некоторого кругового сектора, вписанного в соответствующий криволинейный сектор (см. рис. 2_10_42.swf). Таким образом, для любого e можно указать две квадрируемые области, одна из которых содержится внутри исходной области, а вторая охватывает эту область. Каждая из этих областей составлена из круговых сегментов и имеет площадь равную s(f,D), S(f,D), соответственно. Квадрируемость следует из сделанного второго критерия квадрируемости. Формула для площади получается также, как и при доказательстве квадрируемости криволинейной трапеции.

Непрерывность функции многих переменных

.Дальнейшие свойства непрерывных функций. Методика расчёта линейных электрических цепей переменного тока Электротехника курсовая работа

Определение сложной функции или суперпозиции. Пусть задано отображение x = j(t) из TÌ Rm в множество X пространства Rn и отображение u = f(x) из X в R.

u = f(x) , xÎXÌRn, x = j(t), tÎTÌRm .

Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g ¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х ®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

В результате последовательного выполнения этих двух отображений получим сложное отображение или функцию:u = f(j(t)), действующую из T в R.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть u = f(x) определена в U(x0) и непрерывна в точке x0, функция j(t) определена в U(t0), непрерывна в t0, x0 = j(t0). Тогда в некоторой окрестности t0 существует сложная функция f(j(t)) непрерывная в точке t0.