Теоремы о среднем, аддитивность по множеству, неравенство Коши-Буняковского

Теорема (Непрерывность интеграла по верхнему пределу). Если f интегрируема на [a,b], то F(x) = dt непрерывна на [a,b].

Доказательство.

|F(x+Dx) – F(x)| = |dt| £ M |Dx|.

Теорема 4. Если g(x) – монотонна на [a,b], f(x) – интегрируема, то$x :

f(x)g(x) dx = g(a) f(x) dx + g(b) f(x) dx .

Доказательство (Для случая , f(x)³0). Сначала докажем утверждение при дополнительном условии  g(x) – монотонно возрастает. Из неравенств g(a)f(x) £ g(x)f(x) £ g(b)f(x) следует

,

откуда получим

.

Таким образом, m = Î[g(a),g(b)]. Положим

a=. В этом случае b=1-a =. Для таких a, b будет выполнено ag(a)+bg(b)=

  Для xÎ[a,b] определим две функции

, .

Отметим, что a(a)=1, a(b)=0. Функция a(x) непрерывны на [a,b] и поэтому для числа aÎ[0,1]$x:a(x)=a (теорема о промежуточных значениях непрерывной функции). Тогда b(x)=1-a(x)=b и следовательно a(x)g(a)+b(x)g(b)=m или, что тоже

g(a)+g(b)= .

Откуда и следует требуемое равенство.

Если функция монотонно убывает, то следует рассмотреть функцию G(x) = -g(x) , которая будет монотонно возрастает и для нее утверждение доказано, откуда будет следовать утверждение для функции g(x) .

Формула Тейлора для функций многих переменных

Пусть u = f(x) на D , x0 - внутренняя точка D . Если f имеет в U(x0) производные (m+1)-го порядка, то в этой окрестности Метод узловых и контурных уравнений Электротехника курсовая работа

f(x) = , (1) Теорема Коши Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

где xq = x0 + q Dx, Dx = x – x0 .

 Доказательство. Пусть x Î U(x0), x t = x0 + t Dx , F(t) = f(x0 + t Dx) . Функция F(t) будет (m+1)- раз дифференцируема на (-d, 1+d) . Кроме того при линейной замене имеет место свойство инвариантности дифференциалов высших порядков

dF(0) = df(x0),…, d kF(q) = d kf(xq ) .

Равенство (1) будет следовать из разложения по формуле Тейлора функции F(t)

F(t)=