Интегральное исчисление

Первообразная, неопределенный интеграл

1.Определения

Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).

Примеры:

1)  f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥)

  f(x)=a (Const), F(x)=ax+C, X=(-¥,¥)

f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-¥,¥)

f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥)

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то F1 =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если F1 , F- первообразные для f, то F1 =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа). Условие X – связное – существенно.

Пример. Функции ln |x| и ln|x| + sign x являются первообразными для 1/x на множестве X=(-¥,0)È(0,¥), но их разность не является константой.

Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается

Таким образом, если F – первообразная для f, то

=F(x)+C на X

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=j(t), то

F(j(t))+C =

  таким образом, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций  и x=j(t).

Условный экстремум Достаточные условия.

Пусть в точке x0= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df=f(x) – f(x0) при условии, что xÎD1 (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек DFI = 0, поэтому Df = DL, и вопрос исследования поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL. По формуле Тейлора Правило Лопиталя Примеры решения и оформления задач контрольной работы

DL = , eij®0 при Dxi®0. Теорема Лагранжа

Если выразить «зависимые» Dxi через Dxi независимых переменных (это можно сделать продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , hij®0 при Dxi®0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .