Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

  Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_xz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

  Можно записать

.

  Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

  Аналогично определяется частная производная функции по у.

Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

 Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Полное приращение и полный дифференциал.

  Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

  Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

 

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

;

  Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

  Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

  Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

  Для функции произвольного числа переменных: