Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Интегральное исчисление Определенный интеграл

  Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

 y

  M

 

 

 

 

 

  Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = Dx₁, x₂ – x₁ = Dx₂, … ,x_n – x_n-1 = Dx_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

  Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

[x₀, x₁] ® m₁, M₁;  [x₁, x₂] ® m₂, M₂; … [x_n-1, x_n] ® m_n, M_n.

 

  Составим суммы:

_n = m₁Dx₁ + m₂Dx₂ + … +m_nDx_n =

_n = M₁Dx₁ + M₂Dx₂ + … + M_nDx_n =

  Сумма  называется нижней интегральной суммой, а сумма  – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i £ M_i, то _n £ _n, а  m(b – a) £ _n £ _n £ M(b – a)

 

  Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x₀ < e₁ < x₁, x₁ < e <  x₂,  … , x_n-1 < e < x_n.

 

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

 

S_n = f(e₁)Dx₁ + f(e₂)Dx₂ + … + f(e_n)Dx_n =

Тогда можно записать: m_iDx_i £ f(e_i)Dx_i £ M_iDx_i

 

  Следовательно,

 

  Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

  Обозначим maxDx_i – наибольший отрезок разбиения, а minDx_i – наименьший. Если maxDx_i® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

  Расчёт трёхфазной цепи Электротехника курсовая работа

Если  , то

 

  Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDx_i® 0 и произвольном выборе точек e_i интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 

  Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 

  Определение: Если для функции f(x) существует предел  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

 

  Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Интегральное исчисление Определенный интеграл

 Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Геометрические приложения определенного интеграла Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

 Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Преобразования Лапласа Примеры решения задач математика

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.