Примеры решения задач типового расчета

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x²+y²)+1; z=1-20y.

Решение:

Первая поверхность – параболоид вращения, полученный вращением параболы z=10x²+1, лежащей на плоскости xz. Вторая поверхность z=1-20y,

  является плоскостью, параллельной оси ох. Тело W, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис. 19.а).

Рис.19.

Тело W снизу ограничено поверхностью z=10(x²+y²)+1,  сверху – поверхностью z=1-20y. Найдем область D в плоскости ху , на которую проектируется тело W. Для этого решим систему

 ìz=1-20y;

  í

  îz=10(x²+y²)+1

Получим 10(х²+у²)=-20Þх²+(у+1)²=1, т.е. D есть круг радиусом 1 с центром в точке (0, 1). В полярных координатах уравнение окружности х²+(у+1)²=1имеет вид r =-2 sinj , и вэтих координатах D записывается в виде D:{-p£ j £ 0; 0£ r £-2sinj}. Таким образом,

Ответ: V_W=5p

Задача 1 Изменить порядок интегрирования

Задача 2 Изменить порядок интегрирования

Задача 3 Вычислить двойной интеграл Интегрирование некоторых иррациональных функций Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Задача 4 Вычислить двойной интеграл

Задача 5 Вычислить тройной интеграл

Задача 6 Вычислить тройной интеграл Исследовать поведение функции Математика Примеры решения задач

Задача 7 Вычислить тройной интеграл

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.