Комплексные числа Пределы Курс высшей математики

1.5.Формула Тейлора.

Формула Тейлора позволяет данную функцию y = f (x) представить в виде многочлена (ряда) со счетным числом слагаемых по степеням x:

 (1.15)

или по степеням 

 (1.16)

Для большинства элементарных функций формула Тейлора выведена. Коэффициенты   в формулах (1.15) и (1.16) и формулы Тейлора для элементарных функций будут выведены  позже в разделе “Дифференциальное исчисление функции одной переменной”.

Пока же мы эти формулы примем без доказательства.

Рассмотрим формулы Тейлора для некоторых функций.

 

 

5        

6          

Следует помнить, что применять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции   только в случае, если  при . Рассмотрим примеры.

 

 Пример 1.13. Разложить по формуле Тейлора по степеням х функции:

а)  ,

б)  ,

в) .

Решение. а) . В формуле 1 мы не можем вместо х подставить 3х-2, так как  при . Функцию надо преобразовать так:

.

Вместо х мы имеем право подставить 3х, так как  при .

б) . Сначала преобразуем функцию так, чтобы первое слагаемое равнялось 1.

Запишем формулу бинома 6. для случая

Для данной функции вместо х подставляем :

в) . Так как здесь  при , то можно в формуле 6 вместо х записать х+6х²:

Однако, если квадратный трехчлен, находящийся под знаком логарифма, имеет действительные корни, то лучше разложить его на линейные множители и воспользоваться свойством логарифма произведения. 

Отметим, что формулы 1- 6 можно применять и в тех случаях, когда данную функцию требуется представить в виде многочлена Тейлора по степеням  Для этого функцию f(x) надо преобразовать так, чтобы она имела вид , причем  при . Покажем это на примере.

 

 Пример 1.18. Представить в виде многочлена Тейлора функции:

а)  по степеням х-1,

б)  по степеням х+1.

Решение. а) Функцию  по степеням х-1. Так как  то использовать формулу 1 пока нельзя. Надо функцию преобразовать так, чтобы она зависела от . Имеем: . Теперь можно использовать формулу 1. Надо вместо x подставить 3(x-1).

.

б)  по степеням х+1. Здесь нам придется применить формулы, получающиеся из формулы 4 при

  m = -1.

 ()

 ()

Сначала данную функцию представим в виде суммы двух простых дробей:

 (*)

Каждую дробь преобразуем так, чтобы она зависела от (x+1) и первое слагаемое в знаменателе дроби равнялось 1.

Для первой дроби имеем:

В формуле () вместо х следует подставить .

  Получим:

 

Для второй дроби имеем:

Здесь в формуле () вместо х подставляем х+1.

Подставив все это в (*), получим:

 

Следует отметить, что формулы Тейлора удобно использовать для приближенных вычислений значений элементарных функций. В формулах 2- 6 знаки слагаемых членов чередуются и степень точности вычисления определяется величиной очередного члена формулы Тейлора. Так, если степень точности равна 0,001, то в формуле Тейлора следует взять столько членов, чтобы последний член был не больше 0,001.

 

 Пример 1.19.

Вычислить с точностью 0,001: а) cos ; б) .

Решение. а) По формуле 3 имеем:

 

Т.к. , то для достижения заданной степени точности достаточно взять три первых слагаемых.

Итак, с точностью 0,001

 

б) Запишем формулу Тейлора для кубического корня с помощью формулы 4 при :

. (*)

Имеем:

 

Т.к.  то достаточно взять первые четыре слагаемых. Итак,

3.2. Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.

Несмотря на наглядность, механический способ построения графика функции имеет серьезный недостаток – требует построения большого количества графиков. Если же сначала провести краткое аналитическое исследование данной функции, то это позволит сразу построить ее график. Некоторые элементарные функции имеют асимптоты. Напомним, что асимптота – прямая, к которой приближается уходящая в бесконечность ветвь графика функции. Если при   ( или ), то

- вертикальная асимптота. Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте. интегрирование по частям Математика Примеры решения задач

Если при  (или ), то - горизонтальная асимптота. Так функция  имеет вертикальную асимптоту , так как при   . Функция  имеет горизонтальную асимптоту , так как при   и. Функция  имеет вертикальную асимптоту  и горизонтальную асимптоту . Построим графики некоторых функций, используя свойства элементарных функций. Линии

Пример 3.3. Построить график функции . Решение. Так как ,то функция четная и график ее симметричен относительно оси OY. Значения x, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, обращается в нуль, являются недопустимыми для x и одновременно они помогают найти вертикальные асимптоты. Найдем их.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды