Некоторые вопросы элементарной математики

 Упражнения к § 1

Комбинаторика

1.1.   Вычислить:

1)

5)     

1.2.   Решить уравнения и неравенства:

1) 2)

3)   4)

5)  6)  

7)   8) 

1.3.   Доказать: 1)  , 

2)     

3)     

4) 

1.4.   Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из пяти цифр:0,1,2,3,4?

1.5.   Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр1,2,3,4,5, если цифры в числе: а) могут повторяться, б) не повторяются?

1.6. В ящике имеется 7 красных и5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика 3 красных и 2 черных шара?

1.7. В вазе 10 красных и 6 белых гвоздик. Сколькими способами можно составить букет из 4-х гвоздик так, чтобы число красных гвоздик в букете было не меньше белых?

1.8. Из 10 различных цветков составляется букет, содержащий не менее трех цветков. Сколькими способами это можно сделать?

1.9. В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифт садится 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2,3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они это могут сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?

3.2. Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.

Несмотря на наглядность, механический способ построения графика функции имеет серьезный недостаток – требует построения большого количества графиков. Если же сначала провести краткое аналитическое исследование данной функции, то это позволит сразу построить ее график. Некоторые элементарные функции имеют асимптоты. Напомним, что асимптота – прямая, к которой приближается уходящая в бесконечность ветвь графика функции. Если при   ( или ), то

- вертикальная асимптота. Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте. интегрирование по частям Математика Примеры решения задач

Если при  (или ), то - горизонтальная асимптота. Так функция  имеет вертикальную асимптоту , так как при   . Функция  имеет горизонтальную асимптоту , так как при   и. Функция  имеет вертикальную асимптоту  и горизонтальную асимптоту . Построим графики некоторых функций, используя свойства элементарных функций. Линии

Пример 3.3. Построить график функции . Решение. Так как ,то функция четная и график ее симметричен относительно оси OY. Значения x, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, обращается в нуль, являются недопустимыми для x и одновременно они помогают найти вертикальные асимптоты. Найдем их.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды