Некоторые вопросы элементарной математики

 

 

3.5 О построении графика функции, содержащей модули.

В данном параграфе рассматриваются графики функций

типа:

  (3.1)

Известно, что график функции  имеет ось симметрии - прямую  Для построения графика этой функции следует: 1)построить график функции для   2) добавить к полученному

графику его симметричное относительно оси 

отображение. Приведём примеры. 

Пример 3.19. Построить график функции  

Решение. Осью симметрии графика данной функции является прямая  х = 1. При   х >1 функция принимает вид : . Строим часть графика этой функции для

 и добавляем к ней её симметричное относительно оси х = 1 отображение. (Рис.29)

  Рис.29

Пример 3.20. Построить график функции

   

Решение. Осью симметрии графика данной функции является прямая х=1 . При  получаем вспомогательную функцию . Для графика функции   прямая х=3 является осью симметрии только на части координатной плоскости   .

При   получаем вспомогательную функцию  .

Схема построения графика функции у  такова.

1.Строим график функции .

2.У графика этой функции оставляем часть, соответствующую , и отображаем её симметрично оси х=3 до основной оси х=1. (Рис.30)

3. К полученному графику добавляем его симметричное отображение относительно основной оси симметрии

х=1. (Рис.31)  

 Рис.30 Рис.31

   Отметим, что нам фактически пришлось строить график лишь одной функции для. Остальная часть графика была построена симметричным отображением сначала относительно вспомогательной оси х=3 (до оси х=1), а затем - относительно основной оси х=1. 

Методом осевой симметрии построим графики ещё двух функций.

Пример 3.21. Построить график функции 

  .

Решение. Пользуясь свойством модуля ,

запишем эту функцию в виде .

Основной осью симметрии графика является прямая х=0.

При  получаем вспомогательную функцию , для графика которой осью симметрии является прямая  х=1.

При   получаем вспомогательную функцию , для графика которой осью симметрии является прямая  х=1,5.

Итак, имеем три оси симметрии: основную ось х=0 и две вспомогательные х=1  и х=1,5.

Схема построения графика функции такова.

 

1.Строим график функции  и добавляем к нему его симметричное отображение относительно вспомогательной оси х=1,5  до следующей вспомогательной оси х=1. (Рис.32а) 

 

 Рис.32а Рис.32в

2. К полученному графику добавляем симметричное

 отображение его относительно вспомогательной оси х=1 до основной оси х=0 .(Рис.32 в) 

3. К вновь полученному графику добавляем его симметричное отображение относительно основной оси х=0. ( Рис.33 )

 

 

 

 Рис.33.

Пример 3.22. Построить график функции . 

Решение. Основная ось симметрии х=0. При  вспомогательная функция . Первая вспомогательная ось симметрии х=1. Вторая вспомогательная функция  имеет ось симметрии х=3.

Схема построения графика.

1. Строим график функции  для

   (Рис.6, дуга АВ ).

2. Дугу АВ отображаем симметрично оси х=3 до вспомогательной оси х=1.Получаем дугу АВС.

3. Дугу АВС отображаем симметрично оси  х=1 до основной оси х=0. Получаем кривую АВСД.

4. Кривую АВСД отображаем симметрично относительно основной оси х=0.Получаем график данной функции (Рис.34, кривая )

 

 Рис.34

 

Мы рассмотрели метод осевой симметрии построения

графика функций типа (3.1), где все >0.

Если некоторые <0, то функция (3.1) упрощается, что облегчает построение графика.

Пусть в Примере 3.22. перед единицей стоит знак +, то есть имеем функцию  .

Так как , то  и функция  принимает вид . График этой функции строить легче. Он приведен на Рис.35.

 

 

  Рис.35

 

Если в Примере 3.22. все знаки положительные, то получим функцию .

Так как >0, то .

Далее:

Данная функция примет вид: .

Так как . Следовательно, область определения функции – пустое множество. Функция не имеет графика.

 

 

 

3.2. Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.

Несмотря на наглядность, механический способ построения графика функции имеет серьезный недостаток – требует построения большого количества графиков. Если же сначала провести краткое аналитическое исследование данной функции, то это позволит сразу построить ее график. Некоторые элементарные функции имеют асимптоты. Напомним, что асимптота – прямая, к которой приближается уходящая в бесконечность ветвь графика функции. Если при   ( или ), то

- вертикальная асимптота. Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте. интегрирование по частям Математика Примеры решения задач

Если при  (или ), то - горизонтальная асимптота. Так функция  имеет вертикальную асимптоту , так как при   . Функция  имеет горизонтальную асимптоту , так как при   и. Функция  имеет вертикальную асимптоту  и горизонтальную асимптоту . Построим графики некоторых функций, используя свойства элементарных функций. Линии

Пример 3.3. Построить график функции . Решение. Так как ,то функция четная и график ее симметричен относительно оси OY. Значения x, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, обращается в нуль, являются недопустимыми для x и одновременно они помогают найти вертикальные асимптоты. Найдем их.