| |
9. Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение
.
Лемма. Если для любого отрезка
при любом
, то
.
Доказательство. Для произвольного
выберем
так, чтобы
. Применим к
формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
, где
. По условию,
и
. По признаку Даламбера ряд с членами
сходится (
). Поэтому его общий член
стремится к 0, значит и
при
. Ввиду произвольности
.
Для получения разложения
заметим, что
, и для любого отрезка
. Поэтому лемма применима с
, и мы получаем:
.
Для нахождения разложения
и
учтем, что
и в лемме можно положить
. Поэтому
Разложения для
Если члены ряда
- комплексные числа (
), то сходимость ряда
означает, что одновременно сходятся ряды
и
. Абсолютная сходимость ряда
, т.е. ряда
.
Очевидные неравенства
показывают, что абсолютная сходимость ряда
Подставим в разложение для
величину
. Тогда (пока формально) получим:
. Группируя действительные и мнимые слагаемые, получаем:
.
Для обоснования законности наших действий заметим, что ряд
, как доказано выше, абсолютно сходится, поэтому в нем можно переставить слагаемые (в частности так, как это сделано выше), и сумма его сохранится. Упомянем, что и для
.
Если в разложение для
, то получим:
. Поэтому из двух полученных формул следует, что
. Кроме того, для любого комплексного числа
.
Разложение
.
Используем равенство:
. Разложим
в ряд как прогрессию при
.
. Тогда, интегрируя это разложение, получим:
. Это равенство справедливо при
сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при
.
Разложение
.
Используем равенство:
. Далее, как и выше, при
. Поэтому, при
. Кроме того, ряд
сходится. Значит, написанное выше разложение имеет место и при
.
Разложение
.
Если обозначить
, то
. Поэтому
. Это разложение верно для всех
, где
- радиус сходимости. Для нахождения
. Кроме того, без доказательства, отметим, что при
разложение справедливо и при
, а при
- для
В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения
Следствие 1. Легко видеть,
. Поэтому
при
, получаем, что
и
. Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.
Следствие 2. Формула Стирлинга.
Приведем эту формулу без доказательства.
.
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно
общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения 
(1) достаточно
знать фундаментальную систему решений 
однородного
уравнения 
(2) и найти хотя бы одно решение 
неоднородного уравнения. Тогда
любое решение 
неоднородного уравнения
имеет вид: 
, где 
- произвольные постоянные. Параметрическое
задание функции Исследование и построение графика кривой, которая задана системой
уравнений вида
В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще. Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
Пусть
(3), где 
- многочлены, 
- действительные числа. Согласно принципу
суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида 
(4). Тогда, решив каждое из уравнений 
и просуммировав полученные решения,
мы получим решение исходного уравнения (3).
Решения
уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число
корнем характеристического уравнения для
однородного уравнения (2).
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|
