Числовые и степенные ряды Дифференциальное исчисление

2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Если известно, что все члены ряда  имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все .

Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд  сходится .

Доказательство.

. Пусть . Тогда   при всех .

. Пусть . Поскольку , последовательность   возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех  и пусть ряд   - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию   - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и  и, значит, ряд   - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех   и ряд  - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство   выполняется начиная с некоторого номера .

Теорема 2. Пусть   для всех  и . Тогда либо оба ряда  и   сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда  (т.к. )  при .

Если ряд   – сходится, то сходится и ряд  (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд  – сходится.

Если ряд   – сходится, то сходится и ряд  и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример применения теоремы 2. Ряд  сходится, т.к.  при  и ряд  – сходится.

Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть  и при достаточно больших  . Тогда ряд  сходится. Если же при   , то он расходится.

Доказательство. Неравенство  при  равносильно неравенству . Так как , ряд  – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд  также сходится.

Если же , то и  и равенство   невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть существует . Тогда если   – ряд сходится,  – ряд расходится,   – признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выберем  так, чтобы   (т.е. ). Тогда при   , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем  так, что   (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

 

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех  , где . Тогда ряд сходится. Если же при   , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует  . Иными словами,  и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то  при  и ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при   ряд сходится, при  - расходится, а при   признак неприменим.

Доказательство. При   выбираем  так, чтобы . Пусть  выбрано так, чтобы при   , т.е.  и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем   так, что . Тогда при    и ряд расходится.

Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов  и :  при ,  при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , .

Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму:  и  при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится.

Теорема. (признак Гаусса). Пусть  и , .

Эту теорему оставим без доказательства.

 

В применении к ряду   она дает: ,  - ряд расходится. Для ряда  имеем: ,  - ряд сходится.