Числовые и степенные ряды Дифференциальное исчисление

19. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение

 

Для уравнений   (1), у которых  (2), где  - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.

Для этого будем искать решения уравнения  в виде . При этом  (3). Подставим полученные величины в уравнение (1):  , или . Поскольку  при всех , из этого уравнения следует, что  (4).

Таким образом, функция   удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда  удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).

Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их   и рассмотрим функции , являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что  - фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2)  или, после вынесения из столбцов множителей . Определитель  представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен . Поэтому если все числа  попарно различны, этот определитель не равен 0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции  линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2 случай. Все корни  - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально  - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть   - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные   - действительные числа. Пусть комплексная функция  удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции .

Доказательство. Равенство   означает: , откуда , или . Комплексная величина  равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть  и мнимая часть  равны 0, откуда , т.е.   - решения уравнения (1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь   - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число  также является его корнем. Значит,  - тоже решение уравнения (1).

Далее,  . По лемме,  также являются решениями уравнения (1). Легко видеть, , т.е.   являются линейными комбинациями . Разумеется,  также можно линейно выразить через . Поэтому линейная независимость решений  с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости  с остальными решениями.

Подведем итоги. В случае, когда все  - различные, причем   - действительные, а  - пара комплексно сопряженных чисел (), причем , то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид:  .

Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число  называется корнем многочлена  кратности , если , где  - многочлен, причем .

Пусть корни   имеют, соответственно, кратности . Тогда можно доказать (но мы оставим это без доказательства), что функции  составляют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению  соответствует характеристическое уравнение , . Оно имеет корень  с кратностью 2. Рассмотрим функции .  и подставляя  в исходное уравнение, получаем , т.е. верное равенство. Далее,  и подстановка функции   в уравнение дает верное равенство: . Итак,   - действительно решения уравнения . Эти функции линейно независимы, т.к. из равенства  при  следует . Значит, . Тогда при  .

В случае 4, когда действительные корни  уравнения (4) имеют кратности , а комплексные корни  имеют кратности  можно доказать, что функции  образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение уравнения (1) имеет вид: , где в качестве  можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений.