| |
1. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов
Пусть
- последовательность чисел. Рассмотрим величины
(1).
Определение. Если существует
, то говорят, что сходится бесконечный ряд
(другое обозначение
) (2) и его сумма равна
.
Если же
не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины
называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.
Пример.
(геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры:
. Если
, то
при
и
, т.е. ряд сходится. Если
, то
при
, то ряд имеет вид
.
и
. Если
, то
. Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела (
и 0), а значит общий предел не существует.
Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида
, называемые остатками ряда
.
Утверждение. Ряд (2) сходится Û
остаток
Доказательство.
сходится Þ сходится
. Но
. Ряд сходится Þ существует
. Но
частичная сумма
ряда
. Величина
не зависит от
. Кроме того,
при
. Утверждение доказано.
Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.
Теорема.
(1).
Примечание. Поскольку
(2), неравенство (1) можно заменить на неравенство
.
Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).
. Действительно, при
получаем неравенство
, выполняющееся
. Это значит, что
. Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд
расходится при
.
Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.
Пример. Гармонический ряд
.
, т.е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что
.
В качестве
выберем число
. Берем любое
. Пусть
. Тогда
.
Теорема. Пусть сходятся ряды
и
- постоянная величина. Тогда сходятся ряды
.
Доказательство. Обозначая частичные суммы
,
получим, что частичные суммы рядов
,
и
. Эти величины имеют пределы
,
,
. Теорема доказана.
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно
общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения 
(1) достаточно
знать фундаментальную систему решений 
однородного
уравнения 
(2) и найти хотя бы одно решение 
неоднородного уравнения. Тогда
любое решение 
неоднородного уравнения
имеет вид: 
, где 
- произвольные постоянные. Параметрическое
задание функции Исследование и построение графика кривой, которая задана системой
уравнений вида
В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще. Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач
Пусть
(3), где 
- многочлены, 
- действительные числа. Согласно принципу
суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида 
(4). Тогда, решив каждое из уравнений 
и просуммировав полученные решения,
мы получим решение исходного уравнения (3).
Решения
уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число
корнем характеристического уравнения для
однородного уравнения (2).
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|