Курс лекций математического анализа

Теоремы об эквивалентных б.м.

  Теорема 1

Пусть , ,  - б.м. при   причем ,  - одного порядка; а тогда    _{т.е. .}  

_{Теорема 2 Для того, чтобы две б.м. при одном и том же стремлении x были эквивалентны необходимо и достаточно, чтобы их разность была б.м. более высокого порядка, чем каждая из них.   Обратно , т.е. Применяя теорему 1 видим, что соотношение  так же имеет место.}

 _{Теорема 3 Предел отношения двух б.м. не изменится, если одну из них или обе заменить на эквивалентную ей б.м.  Пусть , а  при}  

_{Теорема 4 (принцип отбрасывания б.м. высшего порядка)}

Если , то  _{Это есть следствие теоремы 2.}

Пределы и непрерывность функции.

Предел функции в точке

Определение 1. (по Гейне) Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке  (или при ) если для  последовательности  такой, что  и  соответствующая последовательность значений функций  сходится А. Пишем: Векторная функция скалярного аргумента Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

Определение 2. (по Коши) Постоянное число А называется пределом функции  в точке  (или при ) если для произвольного числа  найдется число  такое, что из условия  (1) вытекает неравенство . Определение 2. (в кванторах)

Комментарий к определению по Коши. Означает, что значение функции  будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к . Доказывается что определения 1 и 2 эквивалентны. Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно:  то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми  и , найдется интервал , такой что все точки графика  с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы. Пределы Математика Примеры решения задач
   

Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция  была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой  - окрестности точки  -  (окрестность точки  радиуса ). . ( - показывает что ).

Примеры:I. , рассмотрим две последовательности  ясно, что первая последовательность стремится к 0 при  и вторая так же стремиться к 0 при . Но: ; Очевидно, , . Видим, что соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы . Таким образом определение Гейне не удовлетворяет. Следовательно функция  в точке  предела не имеет.

II.    При  имеем: Выбираем произвольно  и положим , тогда  влечет или в символах: , т.е. . Видим, что предел функции в точке x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.

Непрерывность функции в точке.

Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке  если:  (2). Это определение предъявляет функции  следующие требования:1) функция  должна быть определена в точке  и некоторой ее окрестности.2) Функция  должна иметь в точке  предел.3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке . Определение 2 означает, что для непрерывности в точке  функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента. Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции  в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция  разрывна в т. или имеет в т.  разрыв; при этом предполагается, что функция  определена в некоторой окрестности  кроме быть может т.. Тогда т.  - называется точкой разрыва функции .