| |
Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
Формула поверхностного интеграла общего вида:
,
где
, 
, 
- направляющие косинусы нормали к поверхности S
в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.
Формула Гаусса — Остроградского
Формула Гаусса — Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом (второго рода) по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Формулу Гаусса — Остроградского можно использовать для вычисления поверхностных интегралов по замкнутым поверхностям.
Формула Стокса
Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и поверхностным интегралами (второго рода).
Устанавливается следующее соотношение между криволинейным и поверхностным интегралами:
(1)
Формула (1) имеет место для любой незамкнутой, ограниченной контуром L поверхности S, состоящей из конечного числа поверхностей рассмотренного вида, а также для поверхностей, обладающих указанными свойствами, относительно других координатных плоскостей. Эта формула называется формулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл по контуру L через интеграл по поверхности S, «натянутой» на этот контур. Сторона поверхности и направление обхода контура L взаимно определяют друг друга.
Частным случаем формулы Стокса (L - кривая в плоскости XOY, S — область плоскости XOY, ограниченная этой кривой) является формула Грина — Остроградского:
.
Формулу Стокса можно использовать для вычисления криволинейных интегралов по замкнутым кусочно-гладким контурам.
Прежде чем дать определение криволинейного интеграла второго рода, рассмотрим приводящую к нему задачу о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой. Теорема Лагранжа
Будем говорить, что в области V пространства XYZ задано силовое поле с напряженностью F, если в каждой точке М области определена сила F, действующая на единицу массы, помещенную в эту точку. При этом величина и направление силы F предполагаются зависящими только от положения точки М: F = F(M). Тогда проекции P Q R силы F на оси координат будут функциями координат x, y, z точки М:
Вычисление
длины дуги кривой Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Вычислим работу, совершаемую силой F по перемещению единицы массы вдоль непрерывной спрямляемой кривой АВ в направлении от А к В (короче, вычислим работу поля вдоль кривой АВ).
Из механики известно, что если перемещение прямолинейно, а действующая сила F постоянна по величине и направлению, то затраченная ею работа А равна скалярному произведению силы F на вектор смещения l:
В случае непрямолинейного пути перемещения и переменной силы F определение выполненной работы можно произвести следующим образом.
Неопределенный интегралВекторное
произведение векторов
|