Определение поверхностных интегралов второго рода (по координатам) и их простейшие свойства

Рассмотрим в пространстве XYZ двухстороннюю поверхность S, со­стоящую из конечного числа кусков, каждый из которых либо задан уравнением вида z=f(x, у), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Пусть К R(х, у, z) — функция, определенная в точках поверхности S. Выберем определенную сторону поверхности S. Затем разобьем поверхность S на n частей S₁, S₂, …, S_n, не имеющих общих внутренних точек и таких, что каждая часть ∆S_i целиком умещается на одном из указанных выше кусков поверхности S.

Обозначим через (∆S_i)_xy площадь проекции на плоскость XOY по­верхности деления ∆S_i, взятую со знаком плюс, если на ∆S_i выбранная сторона поверхности направлена в сторону возрастания z (иначе, если в точках ∆S_i выбранные направления нормалей составляют острые углы с осью OZ), и со знаком минус, если на ∆S_i выбранная сторона поверх­ности направлена в сторону убывания z (выбранные направления норма­лей в точках ∆S_i составляют тупые углы с осью OZ) (рис. 6.21.1). Если поверхность деления лежит на, цилиндрическом куске поверхности S с образующими, параллельными оси OZ, то проекция ∆S_i на плоскость XOY

Рис. 6.21.1

представляет собой дугу кри­вой, так что вопрос о знаке (∆S_i)_xy в этом случае отпа­дает, (∆S_i)_xy= 0.

Возьмем на каждой час­ти ∆S_i поверхности S про­извольно точку  и умножим значение функ­ции R(x, у, z) в точке М_i на (∆S_i)_xy:

(∆S_i)_xy

Сумма всех таких про­изведений

(∆S_i)_xy

называется интегральной суммой для функции R(x, у, z) по поверхности S по переменным х и у. Естественно, что таких сумм для заданной на поверхности S функции R(x, у, z) можно составить бесчисленное мно­жество.

Если при стремлении к нулю шага разбиения  поверхности S ин­тегральные суммы имеют предел, то этот предел называют поверхност­ным интегралом (второго рода) по выбранной стороне поверхности S от функции R(x, у, z) по переменным х и у и обозначают символом

. (1)

Так как cимвол (1) не содержит указания на сторону поверхности S, ее приходится задавать дополнительно. Таким образом,

,

если этот предел существует.

Аналогичным образом определяются поверхностные интегралы второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z (z и х) от функ­ции P(x, у, z) (Q(x, у, z)), определенной на поверхности S:

, (2)

. (3)

Если поверхность S такова, что для функций Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z), определенных в ее точках, существуют интегралы (1), (2) и (3), то можно ввести поверхностный интеграл «общего» вида по выбран­ной стороне поверхности:

 (4)

К вычислению поверхностных интегралов второго рода приводит, например, решение так называемой задачи о потоке векторного поля.

Если в каждой точке М(х, у, z) пространства XYZ (или некоторой его области) задан вектор скорости  проходящих через эту точку частиц движущейся жидко­сти, то количество жидкости, протекающее за единицу времени через поверхность S (в выбранную сторону), равна интегралу

по выбранной стороне поверхности S.

Свойства поверхностных интегралов второго рода:

1. Любой поверхностный интеграл (второго рода) изменяет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла:

,

,

,

где k — любое число.

3. Поверхностный интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых:

,

,

.

4. Если поверхность S разбита на части S₁ и S₂, то интеграл по всей поверхности S равен сумме интегралов по ее частям:

.

5. Если S — цилиндрическая поверхность с образующими, парал­лельными оси OZ, то

6. Если S — цилиндрическая поверхность с образующими, парал­лельными оси ОХ, то

7. Если S — цилиндрическая поверхность с образующими, парал­лельными оси OY, то