Интегральное исчисление функций многих переменных

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ

 Рассмотрим функцию нескольких переменных

определенную и непрерывную в области

Закрепив любые значения  мы получим функцию одной переменной x:

Непрерывную, а значит, интегрируемую, на отрезке . Интеграл от этой функции

 где  

зависит от выбранных нами значений   т.е. является функцией от  определенной в области

Обозначим ее через 

Таким образом, 

 (1)

 Переменные  от которых зависит подынтегральная функция и которые при интегрировании рассматриваются как постоянные, называются параметрами. Сам интеграл (1) есть функция этих параметров.

 Так, например, интеграл  есть функция одного параметра y, определенная на любом отрезке  где  или, что то же, для всех 

 Интеграл   есть функция двух параметров y и z, определенная в любом прямоугольнике  не содержащем начала  интеграл

есть функция трех параметров y, z, v, определенная для всех значений y, z, v. Этот интеграл в элементарных функциях не берется, если

  Поставим своей задачей изучение некоторых свойств функций   по известным свойствам функции   Для простоты мы будем рассматривать интегралы, зависящие от одного параметра. Полученные результаты могут быть перенесены на случай любого числа параметров.

Пример. Вычислим интеграл.

  (а > 1).

Здесь   - переменная интегрирования, а – параметр,

Так как условия теоремы 3 выполнены, для любого a > 1 имеем:

откуда, интегрируя по а, найдем:

Для определения постоянной С представим интеграл F(a) в виде:

Тогда

и переход к пределу при  получим  Таким образом,

Рассматривая интегралы, зависящие от параметров, мы предполагали пределы   и  постоянными. Однако в приложениях часто случается, что при различных значениях параметров интегрировать приходится в разных пределах, т.е.  и  сами являются функциями параметров.

Так, например, интеграл  где ,  есть функция параметра y:

Эта функция при определенных условиях, наложенных на функции f(x, y),  и  будет непрерывна и дифференцируема на отрезке [с, d].

Тройные интегралы

Переход в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам.

Сферическими координатами точки  пространства XYZ называются числа  где  - длина радиуса-вектора  точки М,  - угол, составляемый с осью OX проекцией этого радиуса-вектора на плоскость XOY, а   - угол отклонения радиуса-вектора точки М от плоскости XOY (рис. 4.16.6.). Задание этих трех чисел однозначно определяет положение точки М в пространстве XYZ. Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Рис. 4.16.5 Рис.4.15.6

Сферические координаты  точки М связаны с ее декартовыми координатами x, y, z формулами:

  . (4)