Вычисление интегралов методом Монте-Карло Дифференцирование | Интегрирование | Применение интегралов | Вычисление интегралов | Неопределенный интеграл | На главную

Определенные интегралы | Степенные ряды | Комплексные числа | Понятие комплексного числа Матрицы | Предел функции Функции нескольких переменных и их дифференцирование Направляющие линии и сетка Adobe Illustrator Матрицы и определители

Дискретная математика Деревья и циклы

 Определение. Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом.

 У графа, который является деревом, число ребер на единицу меньше числа вершин. Дерево не содержит циклов, любые две его вершины можно соеденить единственной простой цепью.

 Если у дерева G есть, по крайней мере, одно ребро, то у него обязательно найдется висячая вершина, т.к. в противном случае в графе будет цикл.

 Для графов, которые сами по себе не являются деревьями, вводится понятие остовного дерева.

 Определение. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

 Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G (если оно существует) должно содержать n(G)-1 ребер.

 Таким образом, любое остовное дерево графа G есть результат удаления из графа G ровно m(G) - (n(G) - 1) = m(G) – n(G) + 1 ребер.

 Число v(G) = m(G) – n(G) + 1 называется цикломатическим числом связного графа G.

 Одной из самых распространенных задач является задача построения остовного дерева минимальной длины графа. Для решения этой задачи применяется следующий алгоритм.

 1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инциндентными ему вершинами оно образует подграф G₂.

 2) Строим граф G₃, добавляя к графу G₂ новое ребро минимальной длины, выбранное среди ребер графа G, каждое из которых инциндентно какой либо вершине графа G₂, и одновременно инциндентно какой – либо вершине графа G, не содержащейся в графе G₂.

 3) Строим графы G₄, G₅, …, G_n, повторяя действия пункта 2 до тех пор, пока не переберем все вершины графа G.

  Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

 Пример. Определить минимальное остовное дерево нагруженного графа.

 Граф называется нагруженным, если на множестве его дуг задана некоторая функция, которая называется весовой функцией, и определяет длину дуги.

 В нашем примере – весовая функция определяет длины дуг числами 1, 2, 3, 4, 5.

 v₂ 2 v₃

 На четвертом шаге алгоритма получили дерево G₅, которое соединяет все вершины исходного графа. Таким образом, дерево G₅ , будет минимальным остовным деревом графа

Элементы векторной алгебры Примеры решения задач

Уравнение плоскости в отрезках.  

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:  Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.  где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),  - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра.  В координатах это уравнение имеет вид: xcosa + ycosb + zcosg - p = 0. Логарифмическое дифференцирование

Расстояние от точки до плоскости.  Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

 Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.   Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. изменить порядок интегрирования Математика Примеры решения задач

 Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.  Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости.   Получаем: