дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

  Пример 19.11   Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$
к каноническому виду.
Решение. Квадратичная форма имеет вид
$\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz.$
Выписываем ее матрицу
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&1&3\\ 1&5&1\\ 3&1&1\end{array}\right).$
Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambda}&1&3\\ 1&5-{\lambda}&1\\ 3&1&1-{\lambda}\end{array}\right\vert=0.$
После вычисления определителя получим
$\displaystyle -{\lambda}^3+7{\lambda}^2-36=0.$
Подбором находим один корень $ {{\lambda}_1=3}$ . Преобразуем уравнение, выделяя множитель $ {{\lambda}-3}$
$\displaystyle -{\lambda}^3+3{\lambda}^2+4{\lambda}^2-12{\lambda}+12{\lambda}-36=0$
или
$\displaystyle -{\lambda}^2({\lambda}-3)+4{\lambda}({\lambda}-3)+12({\lambda}-3)=0,$
откуда
$\displaystyle ({\lambda}-3)({\lambda}^2-4{\lambda}-12)=0.$
Находим два других корня характеристического уравнения $ {{\lambda}_2=6}$ и $ {{\lambda}_3=-2}$ .
Находим собственные векторы. Для собственного числа $ {{\lambda}_1=3}$ для координат собственного вектора $ {\alpha}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\alpha}_1+{\alpha}_2+3{\alpha}_3=0,\\ {... ...ha}_2+{\alpha}_3=0,\\ 3{\alpha}_1+{\alpha}_2-2{\alpha}_3=0.\end{array}\right.$
Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)}$ . Для собственного числа $ {{\lambda}_2=6}$ для координат собственного вектора $ {\beta}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-5{\beta}_1+{\beta}_2+3{\beta}_3=0,\\ {\be... ...{\beta}_2+{\beta}_3=0,\\ 3{\beta}_1+{\beta}_2-5{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Отсюда находим собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ . Для собственного числа $ {{\lambda}_3=-2}$ для координат собственного вектора $ {\gamma}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3{\gamma}_1+{\gamma}_2+3{\gamma}_3=0,\\ {\... ...ma}_2+{\gamma}_3=0,\\ 3{\gamma}_1+{\gamma}_2+3{\gamma}_3=0.\end{array}\right.$
Отсюда находим собственный вектор $ {{\gamma}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .
Легко проверить, что $ {({\alpha},{\beta})=({\alpha},{\gamma})=({\beta},{\gamma})=0}$ , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно $ \sqrt3$ , $ \sqrt6$ , $ \sqrt 2$ . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты
$\displaystyle {\bf i}'=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}\... ...\ \vphantom{\dfrac11}0\\ \vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt2}\end{array}\right).$
Матрица перехода имеет вид
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}\vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}&\frac... ...hantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}\end{array}\right).$
Старые координаты связаны с новыми уравнением $ {\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)= S\left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right)}$ , то есть
\begin{multline*} x=\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'-\frac1{\sqrt2}z',\quad ... ...6}y',\\ z=\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'+\frac1{\sqrt2}z'. \end{multline*}(19.10)
 


Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа

\begin{multline*} 3(x')^2+6(y')^2-2(z')^2-2\left(\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6... ...ft(\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'+\frac1{\sqrt2}z'\right)=0. \end{multline*}

Приводим подобные члены

$\displaystyle 3(x')^2+6(y')^2-2(z')^2-\frac6{\sqrt3}x'+\frac{12}{\sqrt6}y'+\frac4{\sqrt2}z'=0.$

Выделим полные квадраты

\begin{multline*} 3\left((x')^2-\frac2{\sqrt3}x'+\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2\... ...z')^2-\frac2{\sqrt2}z'+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2\right)+1=0 \end{multline*}

или

$\displaystyle 3\left(x'-\frac1{\sqrt3}\right)^2+6\left(y'+\frac1{\sqrt6}\right)^2-2\left(z'-\frac1{\sqrt2}\right)^2=1.$

Выполняем параллельный перенос осей координат

$\displaystyle \tilde x=x'-\frac1{\sqrt3},\quad \tilde y=y'+\frac1{\sqrt6},\quad \tilde z=z'-\frac1{\sqrt2}.$

Новое начало системы координат $ O_1$ имеет координаты

$\displaystyle x'=\frac1{\sqrt3},\quad y'=-\frac1{\sqrt6},\quad z'=\frac1{\sqrt2}.$

В исходной системе координат точка $ O_1$ в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты

$\displaystyle x=-\frac13,\quad y=-\frac23,\quad z=\frac23.$



Рис.19.9.Система координат $ {O_1\tilde x\tilde y\tilde z}$


В новой системе координат $ {O_1\tilde x\tilde y\tilde z}$ (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2}+\frac{\tilde y^2... ...(\frac1 {\sqrt6}\right)^2}-\frac{\tilde z^2}{\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2}=1.$

Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке $ O_1$ , две вещественные оси параллельны векторам $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , вещественные полуоси равны $ {\frac1{\sqrt3}}$ , $ {\frac1 {\sqrt6}}$ . Мнимая ось параллельна вектору $ {\bf k}'$ , мнимая полуось равна $ {\frac1{\sqrt2}}$ . Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10.




Рис.19.10.Изображение гиперболоида

      

Операции над векторами Векторная алгебра

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю (рис. 10.2).




Рис.10.2.Сложение векторов

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.




Рис.10.3.Правило треугольника


Определение 10.7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и $ {\vert{\bf a}\vert=\vert{\bf b}\vert}$ .

Вектор, противоположный вектору a, обозначается $ -{\bf a}$ , то есть $ {\overrightarrow {AB}=-\overrightarrow {BA}}$ .

Определение 10.8 Разностью векторов a и b называется сумма $ {\bf a}+(-{\bf b})$ .

Разность обозначается $ {\bf a}-{\bf b}$ , то есть $ {{\bf a}-{\bf b}={\bf a}+(-{\bf b})}$ .

Определение 10.9 Произведением вектораaна вещественное число$ {\alpha}$ называется вектор b, определяемый условием
1) $ {\vert{\bf b}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert}$
и, если $ \vert{\bf b}\vert\ne 0$ , то еще двумя условиями:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направлены одинаково, если $ {\alpha}>0$ , и противоположно, если $ {\alpha}<0$ .

Произведение вектора a на число $ {\alpha}$ обозначается $ {\alpha}{\bf a}$ (рис 1.4).



Рис.10.4.Умножение вектора на число

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды