дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат $ Oxyz$ . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_1x+b_2y+b_3z+c=0,$(19.7)
 


где $ a_{ij},\,b_i,\,c$  -- числа, причем хотя бы одно из чисел $ a_{ij}$ отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

$\displaystyle f=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz.$

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы $ f$ . Она является симметричной, то есть $ {A^{\top}=A}$ , или, другими словами, $ {a_{ij}=a_{ji}}$ . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right)}$ задается формулой $ {({\alpha},{\beta})={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3}$ . Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

        Теорема 19.4   Если матрица $ A$  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     

Пусть $ A$ -- матрица квадратичной формы $ f$ . По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ , и пусть эти векторы имеют координаты

$\displaystyle {\bf i}'=\left(\begin{array}{c}s_{11}\\ s_{21}\\ s_{31}\end{array... ...uad {\bf k}'=\left(\begin{array}{c}s_{13}\\ s_{23}\\ s_{33}\end{array}\right).$
Базис i, j, k назовем старым, а базис $ {{\bf i}', {\bf j}', {\bf k}'}$  -- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид
 
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{ccc}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\ s_{21}&s_{22}&s_{23}\\ s_{31}&s_{32}&s_{33} \end{array}\right).$

Выберем новую систему координат $ {Ox'y'z'}$ так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ задают направления новых координатных осей $ Ox'$ , $ Oy'$ , $ Oz'$ (рис. 19.8).

Рис.19.8.Система координат $ {Ox'y'z'}$


Тогда координаты $ (x;y;z)$ точки $ M$ являются координатами ее радиус-вектора $ \overrightarrow {OM}$ и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=S\left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right).$(19.8)



Операции над векторами Векторная алгебра

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c-- его диагональю (рис. 10.2).




Рис.10.2.Сложение векторов

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.




Рис.10.3.Правило треугольника


Определение 10.7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и $ {\vert{\bf a}\vert=\vert{\bf b}\vert}$ .

Вектор, противоположный вектору a, обозначается $ -{\bf a}$ , то есть $ {\overrightarrow {AB}=-\overrightarrow {BA}}$ .

Определение 10.8 Разностью векторов a и b называется сумма $ {\bf a}+(-{\bf b})$ .

Разность обозначается $ {\bf a}-{\bf b}$ , то есть $ {{\bf a}-{\bf b}={\bf a}+(-{\bf b})}$ .

Определение 10.9 Произведением вектораaна вещественное число$ {\alpha}$ называется вектор b, определяемый условием
1) $ {\vert{\bf b}\vert=\vert{\alpha}\vert\cdot\vert{\bf a}\vert}$
и, если $ \vert{\bf b}\vert\ne 0$ , то еще двумя условиями:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направлены одинаково, если $ {\alpha}>0$ , и противоположно, если $ {\alpha}<0$ .

Произведение вектора a на число $ {\alpha}$ обозначается $ {\alpha}{\bf a}$ (рис 1.4).



Рис.10.4.Умножение вектора на число

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды