дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Теорема 19.1 Собственными числами матрицы $ A$ являются корни уравнения
$\displaystyle \vert A-{\lambda}E\vert=0$
и только они.

Доказательство. Пусть столбец $ {\alpha}$ -- собственный вектор матрицы $ A$ с собственным числом $ {\lambda}$ . Тогда, по определению, $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ . Это равенство можно переписать в виде $ {A{\alpha}-{\lambda}{\alpha}=0}$ . Так как для единичной матрицы $ E$ выполнено $ {E{\alpha}={\alpha}}$ , то $ {A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}=0}$ . По свойству матричного умножения $ {(A-{\lambda}E){\alpha}=A{\alpha}-{\lambda}E{\alpha}}$ и предыдущее равенство принимает вид

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle (A-{\lambda}E){\alpha}=0.$(19.4)


Допустим, что определитель матрицы $ {A-{\lambda}E}$ отличен от нуля, $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$ . Тогда у этой матрицы существует обратная $ {(A-{\lambda}E)^{-1}}$ . Из равенства(19.4) получим, что $ {{\alpha}=(A-{\lambda}E)^{-1}\cdot0=0}$ , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что $ {\vert A-{\lambda}E\vert \ne0}$ , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ .

Пусть $ {\lambda}$ -- корень уравнения $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ . Тогда базисный минор матрицы $ {A-{\lambda}E}$ не может совпадать с определителем матрицы и поэтому $ {{\rm Rg} (A-{\lambda}E)=r<n}$ , $ n$ -- порядок матрицы $ A$ . Уравнение(19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ , являющимися элементами матрицы-столбца $ {\alpha}$ . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно $ {n-r}$ , что больше нуля. Таким образом, система(19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу $ {\lambda}$ соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы $ A$ .

Определитель $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ является многочленом степени $ n$ от переменного $ {\lambda}$ , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

Определение 19.5 Матрица $ {A-{\lambda}E}$ называется характеристической матрицей матрицы $ A$ , многочлен $ {\vert A-{\lambda}E\vert}$ называется характеристическим многочленом матрицы $ A$ , уравнение $ {\vert A-{\lambda}E\vert=0}$ называется характеристическим уравнением матрицы $ A$ .

Проекции вектора Векторная алгебра

Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Пусть в пространстве задана некоторая ось $ l$ , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка $ O$ и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 10.21 Проекцией точки$ A$ на ось $ l$ называется число, соответствующее основанию перпендикуляра $ AB$ , опущенного на ось $ l$ из точки $ A$ .

Определение 10.22 Проекцией вектора $ \overrightarrow {AB}$ на ось$ l$ называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекцию будем обозначать $ Пр_l\,\overrightarrow {AB}$ . На рис. 10.18 $ { Пр_l\,\overrightarrow {AB} ={\beta}-{\alpha}}$ .




Рис.10.18.Проекция вектора на ось

Легко проверить, что если $ {\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD}}$ , то $ { Пр_l\,\overrightarrow {AB} =Пр_l\,\overrightarrow {CD}}$ , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды