дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Функции и их графики Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.

        Пример 1.17   Пусть $ a\in\mathbb{R}$ и $ f(a)$ -- это наибольший корень $ x_{\max}$ уравнения $ ax^4+2x^2-3ax+a^2=0$. Этим условием задаётся некоторая функция $ f:a\mapsto x_{\max}$. Её область определения $ \mathcal{D}(f)$ не пуста, так как, например, при $ a=0$ получается уравнение $ 2x^2=0$, у которого имеется единственный корень $ x_{\max}=0$, так что $ f(0)=0$ и, следовательно, $ 0\in\mathcal{D}(f)$. Однако ни выразить значение $ f(a)$ формулой или иным "конечным" образом, ни полностью описать область определения $ \mathcal{D}(f)$ функции $ f$ не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции $ f$ возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений $ f(a)$, которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению $ a=a_0$ определять значение $ x_{\max}=f(a_0)$ либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что $ a_0$ не принадлежит $ \mathcal{D}(f)$.
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
Изменяя число $ a$ в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения $ f(a)$ с заданной наперёд точностью и, например, построить график $ y=f(a)$ по точкам.     

Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.

Если числовая функция $ f(x)$, где $ x\in A\sbs\mathbb{R}$, реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки $ x_k\in A$, $ k=1,\dots,N$, и нанося на координатную плоскость $ xOy$ точки вида $ (x_k;f(x_k))$ и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, -- вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения $ f(x)$ через $ x$.

Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции $ f(x)$ по заданным $ x$, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента $ x$ часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении $ f$, вызванной тремя причинами:

а) приближённостью задания переменного $ x$ (погрешностью аргумента);

б) приближённостью способа получения значения $ f(x)$ (погрешностью метода);

в) приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).

Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления $ f(x)$. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: "хорошо ли ведёт себя" полученный график $ y=f(x)$, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией $ f$, и по другим косвенным признакам.

 

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$ (17.7)
 


причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды