дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Скалярное произведение Векторная алгебра

        Теорема 10.3   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ , то $\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

        Доказательство.    По условию $ {\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}$ , $ {\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+ {\beta}_3{\bf k}$ . В силу свойств 1 - 3 ( теорема 10.2) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\bf a}({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3{\bf k})={\beta}_1{\bf a}{\bf i}+{\beta}_2{\bf a}{\bf j}+{\beta}_3{\bf a}{\bf k}.$(10.2)


 

Используя те же свойства, находим $ {\bf a}{\bf i}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}){\bf i}= {\alpha}_1{\bf i}^2+{\alpha}_2{\bf j}{\bf i}+{\alpha}_3{\bf k}{\bf i}$ . В силу свойства 5, находим $ {{\bf i}^2=1}$ , а по свойству 8 получим $ {\bf j}{\bf i}={\bf k}{\bf i}=0$ . Таким образом, $ {{\bf a}{\bf i}={\alpha}_1}$ . Аналогично находим, что $ {\bf a}{\bf j}={\alpha}_2$ , $ {\bf a}{\bf k}={\alpha}_3$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.2), получим требуемую формулу (10.1).    

Так как $ {\vert{\bf a}\vert^2={\bf a}^2}$ , то из  теоремы 10.3 вытекает, что если $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , то

 

$\displaystyle \vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+{\alpha}_3^2}$(10.3)


 

Пусть в пространстве заданы точки $ A(x_1,y_1,z_1)$ и $ B(x_2,y_2,z_2)$ . Тогда $ {\overrightarrow {AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)}$ . Длина отрезка $ AB$ , то есть расстояние между точками $ A$ и $ B$ , будет равна $ \vert\overrightarrow {AB}\vert$ , и по формуле (10.3) получим

 

$\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$(10.4)


 

Читатель без труда перенесет полученные результаты этого раздела на случай двумерного векторного пространства. Формулы (10.1), (10.3), (10.4) останутся справедливыми, только из них нужно исключить третью координату.

Разберем два примера на использование скалярного произведения.

Задача. Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$ . Найдите длину стороны $ AB$ и $ \angle ABC$ .

Решение. $ \overrightarrow {BA}=(1;-2;2)$ , $ \overrightarrow {BC}=(-1;-1;4)$ , $ AB=\vert\overrightarrow {AB}\vert= \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ .
$ \cos\angle ABC=\dfrac{\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}}{\bigl\vert\overrightarrow {BA}\bigr\vert \cdot\bigl\vert\overrightarrow {BC}\bigr\vert}$ , $ \quad \overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=1\cdot(-1)+(-2)(-1)+2\cdot 4=9$ ,
$ \vert\overrightarrow {BC}\vert=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2$ , $ \quad \cos\angle ABC=\frac 1{\sqrt 2}$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .

Ответ: $ AB=3$ , $ \quad \angle ABC=45^{\circ}$ .    

Задача. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $ {\bf a}=2{\bf m}+{\bf n}$ и $ {\bf b}={\bf m}-2{\bf n}$ , где m и n -- единичные векторы, угол между которыми равен $ 60^{\circ}$ .

Решение. В этой задаче не заданы координаты векторов в ортонормированном базисе $ {\bf i},{\bf j},{\bf k}$ . Поэтому воспользоваться формулами  (10.1), (10.3) так просто не получится.

Сделав схематический рисунок (рис. 10.24),




Рис.10.24.


убеждаемся, что вектор $ {\bf d}_1$ , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле $ {{\bf d}_1={\bf a}+{\bf b}}$ , а другой -- $ {{\bf d}_2={\bf a}-{\bf b}}$ . Отсюда $ {{\bf d}_1=3{\bf m}-{\bf n}}$ и $ {{\bf d}_2={\bf m}+3{\bf n}}$ . В силу свойства 5 ( теорема 10.3) скалярного произведения получим

 

$\displaystyle \vert{\bf d}_1\vert^2= {\bf d}_1^2=(3{\bf m}-{\bf n})(3{\bf m}-{\bf n})=9{\bf m}^2-3{\bf m}{\bf n}-3{\bf m}{\bf n}+{\bf n}^2=$

 

 

$\displaystyle=9\vert{\bf m}\vert^2-6{\bf m}{\bf n}+ \vert{\bf n}\vert^2=9-6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+1=7.$

 

Аналогично, $ {\bf d}_2=({\bf m}+3{\bf n})({\bf m}+3{\bf n})={\bf m}^2+6{\bf m}{\bf n}+9{\bf n}^2= 1+6\cdot 1\cdot 1\cos 60^{\circ}+9=13$ .

Ответ: 7 и 13.    

 

 

 

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$ (17.7)
 


причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды