дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Функции и их графики Обзор некоторых элементарных функций


Арифметическая прогрессия. Функция $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой

 

$\displaystyle f(m)=a_1+(m-1)d,$

 

где $ a_1\in\mathbb{R}$, $ d\in\mathbb{R}$ -- фиксированные числа, а $ m\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{N}$, называется арифметической прогрессией. Число $ a_1$ называется при этом первым членом прогрессии, а число $ d$ -- разностью прогрессии. Функцию $ f$ можно представить как ограничение на множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$ линейной функции $ l(x)=dx+(a_1-d)$ с угловым коэффициентом $ d$ и свободным членом $ a_1-d$. Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным способом:

 

$\displaystyle f(1)=a_1; f(m)=f(m-1)+d$ при $\displaystyle m\geqslant 2.$

 

Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием $ f(1)=a_1$.

Рис.1.28.График арифметической прогрессии


15. Геометрическая прогрессия. Функция $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой

 

$\displaystyle f(m)=a_1q^{m-1},$

 

где $ a_1\in\mathbb{R}$, $ q\in\mathbb{R}$ -- фиксированные числа, а $ m\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{N}$, называется геометрической прогрессией. Число $ a_1$ называется при этом первым членом прогрессии, а число $ q$ -- знаменателем прогрессии. Функцию $ f$ (при $ q>0$, $ q\ne1$) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$ показательной функции с основанием $ q$, умноженной на постоянный коэффициент $ \dfrac{a_1}{q}$, то есть функции

 

$\displaystyle g(x)=\dfrac{a_1}{q}q^x.$

 

Рис.1.29.График геометрической прогрессии


Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом:

 

$\displaystyle f(1)=a_1; f(m)=f(m-1)\cdot q$ при $\displaystyle m\geqslant 2.$




 

 

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Рис.17.4.Модуль и аргумент


Угол, образованный радиус-вектором числа $ z$ с осью $ Ox$ , называется аргументом числа $ z$ и обозначается $ \arg z$ . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного $ 2\pi$ . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до $ 2\pi$ или в диапазоне от $ -\pi$ до $ \pi$ . Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. 17.4 $ \arg z$ равен углу $ {\varphi}$ . Из того же рисунка очевидно, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac ba.$

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$   или$\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$ (17.7)
 


причем первая формула действует, если изображение числа $ z$ находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если $ {a=0}$ , то комплексное число изображается вектором на оси $ Oy$ и его аргумент равен $ \frac{\pi}2$ или $ \frac{3\pi}2$ .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть $ {z=a+bi}$ . Тогда $ {\ovl z=a-bi}$ ,

$\displaystyle z\ovl z=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2.$

С учетом формулы (17.6) получим

$\displaystyle z\ovl z=\vert z\vert^2$

или

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{z\ovl z}.$

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды