дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Матрица линейного преобразования

  Пример 19.5   Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$ из  примера 19.1.
Выберем какой-нибудь базис $ {e_1,\,e_2}$ . Тогда
$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)=2e_1=2e_1+0e_2.$
Следовательно, первый столбец матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{r}2\\ 0\end{array}\right)$ . Аналогично
$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)=2e_2=0e_1+2e_2,$
Второй столбец матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{r}0\\ 2\end{array}\right)$ . В итоге
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2&0\\ 0&2\end{array}\right).$
        
        Пример 19.6   Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$ из  примера 19.2. Угол $ {\varphi}$ возьмем равным $ \frac{\pi}6$ . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.
Из рисунка 19.7 видно, что вектор $ {\mathcal{A}({\bf i})}$ имеет координаты $ {\cos\frac{\pi}6=\frac{\sqrt3}2}$ и $ {\sin\frac{\pi}6=\frac12}$ .
Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота


Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид $ \left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12\end{array}\right)$ . Координаты образа второго базисного вектора равны $ {-\frac12}$ и $ {\frac {\sqrt3}2}$ , его координатный столбец имеет вид $ \left(\begin{array}{c}\vphantom{\dfrac11}-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2\end{array}\right)$ . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол $ {\frac{\pi}6}$ имеет вид
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\vphantom{\dfrac11}\frac{\sqrt3}2&-\frac12\\ \vphantom{\dfrac11}\frac12&\frac{\sqrt3}2\end{array}\right).$

 

Проекции вектора Векторная алгебра

Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Пусть в пространстве задана некоторая ось $ l$ , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка $ O$ и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 10.21 Проекцией точки$ A$ на ось $ l$ называется число, соответствующее основанию перпендикуляра $ AB$ , опущенного на ось $ l$ из точки $ A$ .

Определение 10.22 Проекцией вектора $ \overrightarrow {AB}$ на ось$ l$ называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекцию будем обозначать $ Пр_l\,\overrightarrow {AB}$ . На рис. 10.18 $ { Пр_l\,\overrightarrow {AB} ={\beta}-{\alpha}}$ .




Рис.10.18.Проекция вектора на ось

Легко проверить, что если $ {\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD}}$ , то $ { Пр_l\,\overrightarrow {AB} =Пр_l\,\overrightarrow {CD}}$ , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды