дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Изменение координат вектора при изменении базиса

 

 Пример 18.4   Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$
Возьмем вектор $ {\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$
Пусть $ {\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$  -- координатный столбец вектора $ {\bf x}$ в новом базисе. Тогда
$\displaystyle \left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right)=S{\beta},$(18.2)
 

откуда
$\displaystyle {\beta}=S^{-1}\left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right).$
Найдем матрицу $ S^{-1}$ по формуле (14.14). Находим определитель
$\displaystyle \vert S\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right\vert=-1.$
Находим алгебраические дополнения
\begin{displaymath}\begin{array}{l}S_{11}=-1,\quad S_{12}=1,\quad S_{13}=2,\quad... ...3}=4,\quad S_{31}=1,\quad S_{32}=-2,\quad S_{33}=-3.\end{array}\end{displaymath}
Следовательно,
$\displaystyle S^{-1}=\frac1{-1}\left(\begin{array}{rrr}-1&-2&1\\ 1&3&-2\\ 2&4&-... ...\right)= \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{array}\right).$
Находим координаты вектора
$\displaystyle {\beta}=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{ar... ...\ -1\\ 3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}1\\ 3\\ 1\end{array}\right).$
Таким образом, новые координаты вектора $ {\bf x}$ : $ {{\beta}_1=1}$ , $ {{\beta}_2=3}$ , $ {{\beta}_3=1}$ , $ {{\bf x}={\bf e}_1+3{\bf e}_2+{\bf e}_3}$ .
Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}6={\beta}_1+2{\beta}_2-{\beta}_3,\\ -1={\beta}_1-{\beta}_2+{\beta}_3,\\ 3=2{\beta}_1+{\beta}_3.\end{array}\right.$
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты $ {\beta}_1$ , $ {\beta}_2$ , $ {\beta}_3$ .         


Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , $ {{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела-- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.

Для ответа на первый вопрос нужно найти abc. Если $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}\ne0}$ , то по предложению 10.26 векторы a,b,c-- некомпланарные и, следовательно, образуют базис в трехмерном пространстве.

 

Для нахождения координат напишем разложение вектора d по базису a,b,c с буквенными коэффициентами: $ {{\bf d}={\lambda}{\bf a}+\mu{\bf b}+\nu{\bf c}}$ . В силу предложений 10.4 и10.5 получим три соотношения для координат

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{rrrrrrr} {\lambda}{\alpha}_1&+&\mu{\beta}_1... ...da}{\alpha}_3&+&\mu{\beta}_3&+&\nu{\gamma}_3&=&{\delta}_3. \end{array}\right .$

Из этой системы трех линейных уравнений находим три неизвестных $ {\lambda},\mu,\nu$ , которые и служат координатами вектора d в базисе a,b,c.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды