дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Базис и размерность пространства

 

Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.

        Определение 18.2   Базисом линейного пространства $ L$ называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства $ L$ является линейной комбинацией этих векторов.         

В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

        Пример 18.2   Пусть $ L$ -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.
Предположим противное. Пусть векторы $ a_1,\,a_2,\ldots,\,a_k$ образуют в этом пространстве базис.
Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.
Каждый вектор пространства $ L$  -- это многочлен. Пусть
$\displaystyle a_1={\alpha}_{10}+{\alpha}_{11}t+\ldots+{\alpha}_{1m_1}t^{m_1},$   
$\displaystyle a_2={\alpha}_{20}+{\alpha}_{21}t+\ldots+{\alpha}_{2m_2}t^{m_2},$   
$\displaystyle \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$   
$\displaystyle a_k={\alpha}_{k0}+{\alpha}_{k1}t+\ldots+{\alpha}_{km_k}t^{m_k}.$   
 

Из степеней многочленов $ m_1,\,m_2,\ldots,\,m_k$ выберем наибольшую и обозначим ее буквой $ m$ . Возьмем многочлен $ {a=0+0t+\ldots+0t^m+t^{m+1}}$ . Так как $ {a\in L}$ и векторы $ {a_1,\,a_2,\ldots,\,a_k}$ образуют базис, то $ {a={\gamma}_1 a_1+\ldots+{\gamma}_ka_k}$ , где $ {{\gamma}_1,\,{\gamma}_2,\ldots,\,{\gamma}_k}$  -- вещественные числа. Следовательно, $ a$ является суммой многочленов степеней меньших, чем $ {m+1}$ , и поэтому его степень должна быть меньше, чем $ {m+1}$ . С другой стороны, по определению, многочлен $ a$ имеет степень $ {m+1}$ . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.         
       
Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , $ {{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела-- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.

Для ответа на первый вопрос нужно найти abc. Если $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}\ne0}$ , то по предложению 10.26 векторы a,b,c-- некомпланарные и, следовательно, образуют базис в трехмерном пространстве.

 

Для нахождения координат напишем разложение вектора d по базису a,b,c с буквенными коэффициентами: $ {{\bf d}={\lambda}{\bf a}+\mu{\bf b}+\nu{\bf c}}$ . В силу предложений 10.4 и10.5 получим три соотношения для координат

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{rrrrrrr} {\lambda}{\alpha}_1&+&\mu{\beta}_1... ...da}{\alpha}_3&+&\mu{\beta}_3&+&\nu{\gamma}_3&=&{\delta}_3. \end{array}\right .$

Из этой системы трех линейных уравнений находим три неизвестных $ {\lambda},\mu,\nu$ , которые и служат координатами вектора d в базисе a,b,c.

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды