дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Курс лекций Корни многочленов

В разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами" мы видели, что в поле комплексных чисел любой квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами имеет корни, этих корней два, если дискриминант отличен от нуля, и один в противном случае. Теперь, когда мы имеем возможность извлекать корни из комплексных чисел, мы можем найти корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами, то есть решить уравнение

$\displaystyle ax^2+bx+c=0,$

где $ a$ , $ b$ , $ c$  -- комплексные числа, $ {a\ne0}$ .

Выполняя те же действия, что и в разделе "Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами", приходим к уравнению

$\displaystyle \left(x-\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0.$

Обозначив $ z=x-\frac b{2a}$ , $ {d=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$ , получим уравнение $ {z^n=d}$ , где $ {n=2}$ . Такое уравнение мы умеем решать. В результате получатся два корня, если $ {d\ne0}$ , и один, если $ {d=0}$ . Так как $ {d=0}$ тогда и только тогда, когда дискриминант $ {D=b^2-4ac}$ равен нулю, то количество корней определяется тем же условием: равен дискриминант нулю или нет. Кроме того, заметим, что если $ {h^2=D}$ , то $ {\left(\dfrac h{2a}\right)^2=\dfrac D{4a^2}}$ и $ {\left(-\dfrac h{2a}\right)^2=\dfrac D{4a^2}}$ . Поэтому корни уравнения $ {ax^2+bx+c=0}$ можно записать в виде

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a},$(17.16)
 


где $ \sqrt D$ означает одно из решений (любое!) уравнения $ {y^2=D}$ . Отметим, что формулы (17.5) также можно записать в виде (17.16), так как при вещественном $ {D<0}$ выполнено $ {\sqrt D=\sqrt{\vert D\vert}\,i}$ .

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды