дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения
$\displaystyle z^n=w,$(17.14)

где неизвестным служит $ z$ , а $ w$  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде $ {z=\sqrt[n] w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень $ n$ -ой степени из комплексного числа $ w$ . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если $ {w=0}$ , то $ {z=0}$ . Пусть $ {w\ne0}$ . Запишем число $ w$ в тригонометрической форме: $ {w=\rho(\cos\psi+i\sin\psi)}$ . Здесь $ \rho$ и $ \psi$  -- известные величины. Запишем неизвестное число $ z$ в тригонометрической форме: $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Здесь $ r$ и $ {\varphi}$  -- неизвестны. По формуле Муавра

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$
Таким образом,

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

$\displaystyle r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi})=\rho(\cos\psi+i\sin\psi).$
Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому $ {r^n=\rho}$ . В этом соотношении $ r$ и $ \rho$  -- положительные числа, следовательно $ {r=\sqrt[n]{\rho}}$ , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную $ {2\pi}$ . Поэтому $ {n{\varphi}=\psi+2\pi k}$ , $ {k\in\mathbb{Z}}$ . Отсюда находим, что

$\displaystyle {\varphi}=\frac{\psi+2\pi k}n.$
В итоге получили:
$\displaystyle z=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\psi+2\pi k}n+i\sin\frac{\psi+2\pi k}n \right),\quad k=0,1,\ldots,n-1.$(17.15)

Значения $ k$ , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения $ z$ , которые можно получить при $ {k=0,1,\ldots,n-1.}$
    


Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды