дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Тригонометрическая форма комплексного числа

  Пример 17.5   Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ .
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$
$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$
$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$
$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$
$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$
$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$
        

Пусть $ {z_1=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)}$ , $ {z_2=r_2(\cos{\varphi}_2+i\sin{\varphi}_2)}$ . Найдем произведение $ {z_1z_2}$ :

\begin{multline*} z_1z_2=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)r_2(\cos{\varphi}... ...\varphi}_1\cos{\varphi}_2+\cos{\varphi}_1\sin{\varphi}_2)\big). \end{multline*}

Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому

$\displaystyle z_1z_2=r_1r_2\big(\cos({\varphi}_1+{\varphi}_2)+i\sin({\varphi}_1+{\varphi}_2)\big).$

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа $ z_1z_2$ . Значит,

$\displaystyle \vert z_1z_2\vert=r_1r_2=\vert z_1\vert\vert z_2\vert,$
$\displaystyle \arg(z_1z_2)={\varphi}_1+{\varphi}_2=\arg z_1+\arg z_2,$

иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Аналогично можно доказать, что

$\displaystyle \left\vert\frac{z_1}{z_2}\right\vert=\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert},\quad \arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2,$

иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.

Несложно проверить, что если $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ , то

$\displaystyle \ovl z=r\big(\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi})\big).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Продолжая умножения дальше, придем к формуле

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$(17.9)
 


Эта формула называется формулой Муавра.

        Пример 17.6   Вычислите $ z^6$ , если $ {z=1-i}$ .
Решение. Находим тригонометрическую форму числа $ z$ :
$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=-\frac{\pi}4,\quad z... ...rt2\left(\cos \left(-\frac{\pi}4\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}4\right)\right).$
По формуле Муавра
$\displaystyle z^6=(\sqrt2)^6\left(\cos\left(-\frac{6\pi}4\right)+i\sin\left(- ... ...8\left(\cos\left(-\frac{3\pi}2\right)+i\sin\left(- \frac{3\pi}2\right)\right).$
Переходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус: $ {z^6=8i}$ .
Ответ: $ z^6=8i$ .         

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды