дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть $ {z=a+bi}$ . Положим $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что

$\displaystyle a=r\cos{\varphi},\quad b=r\sin {\varphi}.$

Тогда $ {z=r\cos{\varphi}+(r\sin{\varphi})i}$ . Это выражение запишем в виде

$\displaystyle z=r(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$(17.8)
 


Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде $ {a+bi}$ называют иногда алгебраической формой комплексного числа.

Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару $ r,{\varphi}$ , но запись (17.8) принята в силу традиции.

        Замечание 17.3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения $ \cos{\varphi}$ и $ \sin{\varphi}$ , иначе мы потеряем явное указание аргумента $ z$ и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол $ {\varphi}$ получился отрицательным, то знак "$ -$ " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.          


Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды