дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Формула ТейлораУпражнения


        Упражнение 6.5   Найдите разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$ функций
а) $ f(x)=e^{-x}$;
б) $ f(x)=e^{3x}$;
в) $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$;
г) $ f(x)=\sin x^2$;
д) $ f(x)=\cos3x$;
е) $ f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$;
ж) $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$;
з) $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Ответы:

а) $ e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+ R_n(x)$;

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

б) $ e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+ (-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$;

в) $ e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}- \dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$;

г) $ \sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$;

д) $ \cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+ (-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

е) $ \mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+ \frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$;

ж) $ \dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

з) $ \sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+ \dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+ \dfrac{1\cdot3\... ...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+ R_{2k+1}(x)$.     

        Упражнение 6.6   Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$;
б) $ \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$.

Ответы:
а) $ -\frac{1}{9}$;
б) $ -\frac{1}{4}$.     

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды