дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования


Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг $ h$ малым.

Пусть функция $ f(x)$ разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке $ x_0$. Положим $ x=x_0+h$, тогда

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h^2.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+{\varepsilon}(x_0;h),$

где

$\displaystyle {\varepsilon}(x_0;h)=\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h$ --

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене $ f'(x_0)$ на разностную производную $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Следовательно,

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{m_2}{2}h,$

где

$\displaystyle m_2=\max_{x\in[x_0;x_0+h]}\vert f''(x)\vert.$

Свойства градиента и производной по направлению Криволинейный интеграл Первоначально функции управления системой коммутации возлагались на операторов.

Как правило, заранее известна более грубая оценка для $ f''$ на некотором отрезке $ [a;b]$, включающем в себя $ [x_0;x_0+h]$:

$\displaystyle M_2=\max_{x\in[a;b]}\vert f''(x)\vert\geqslant m_2,$

и $ M_2$ не зависит от $ x_0$ и $ h$. Тогда

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}h;$

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге $ h$.

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

$\displaystyle \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$

Ошибку $ {\varepsilon}(x_0;h)$ при замене $ f'(x_0)$ на это отношение можно оценить исходя из разложения $ f(x)$ в точке $ x_0$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}}\in(x_0;x_0+h)$. Подставляя сюда $ -h$ вместо $ h$, получаем:

$\displaystyle f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}_1}\in(x_0-h;x_0)$. Вычтем из первой формулы вторую:

$\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0-h)=f'(x_0)\cdot2h+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-\dfrac{1}{12}\left( f'''(x_{{\theta}})- f'''(x_{{\theta}_1})\right)h^2.$

Если теперь предположить, что

$\displaystyle \max_{x\in[a;b]}\vert f'''(x)\vert=M_3,$

то оценка погрешности получится такая:

        Упражнение 6.4   Исследуйте приближённую формулу $\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert=\vert f'(x_0)-\dfrac{f(x_0+h)-f(x_... ...)\vert+\vert f'''(x_{{\theta}_1})\vert\right)h^2\leqslant \dfrac{1}{6}M_3h^2.$

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0-2h)-8f(x_0-h)+8f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h}.$

Какая степень приращения $ h$ будет множителем в оценке ошибки $ {\varepsilon}(x_0;h)$? Оценки каких производных войдут в формулу для оценки ошибки?     

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды