дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Функции и их графики Второй способ задания функции: с помощью формулы


Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $ f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $ x$ найти соответствующее ему значение $ y$, например:

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \arcsin x,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1;1];$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x^2\mbox{, если }x\geqslant 0,\\ -x^2\mbox{, если }x<0, \end{array}\right.,\quad \mbox{ при }\mathcal{D}(f)=\mathbb{R};$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \sqrt[4]{x},$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[0;+\infty);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln(1-x),$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;1);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln x_1x_2,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\sbs\mathbb{R}^2.$ 


 

 

        Замечание 1.3   Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $ A$, считаются различными. Так, функция $ f(x)=\arcsin x$ при $ x\in[0;1]$ и функция $ g(x)=\arcsin x$ при $ x\in[-1;1]$ -- это две разные функции, так как функция $ f$ устанавливает соответствие между точками множества $ [0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $ g$ -- между точками другого множества $ [-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как $ {f(x)=g(x)}$ при всех $ {x\in[0;1]}$.     

 

 

 

        Определение 1.6   Если дана функция $ f:A\to B$, и $ \wt A\sbs A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $ f$ только на элементах $ x\in\wt A$. Эта функция $ \wt f:\wt A\to B$ определена равенством $ \wt f(x)=f(x)$ при $ x\in\wt A$. Функция $ \wt f$ называется ограничением функции $ f$ на подмножество $ \wt A\sbs A$ её области определения $ A=\mathcal{D}(f)$ и обозначается $ f\vert _{\wt A}$, то есть $ \wt f=f\vert _{\wt A}$.     

 

 

 

        Пример 1.12   Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой
$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$
Рассмотрим на плоскости $ A$ подмножество -- прямую линию $ L$, заданную уравнением $ x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $ f\vert _L$ точки только прямой $ L$. Ограничение $ f\vert _L(x;y)$ определено только при $ x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,$
можно задать такими формулами:
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1$(1.1)

(так как $ y=1-x$ на прямой $ L$), или
$\displaystyle f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1$(1.2)

(так как $ x=1-y$ на прямой $ L$). Во всех точках $ (x;y)$ прямой $ L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $ f\vert _L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $ f\vert _L$ те же значения, что функция одного переменного $ x$: $ f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного $ y$: $ f_2(y)=-2y^2+1$.
Две последние функции называются параметризациями ограничения $ f\vert _L$.     

       

Основные обозначения и определения Функции и их графики

Пример 1.8 Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
Графиком $ {\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $ A\times\mathbb{R}$. Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $ \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$. Обозначим координаты точек в $ \mathbb{R}^3$ через $ x_1,x_2,y$. Тогда графику $ {\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $ y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $ x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Множество $ Г_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $ (0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.


Рис.1.7.График расстояния до точки $ O$-- это конус


Как мы видим, в случае, когда $ A$-- подмножество плоскости $ \mathbb{R}^2$, график числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$-- это подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$. Если же $ A$-- подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$, то графиком числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество $ {\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $ A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график $ {\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды