дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Функции и их графики Первый способ задания функции: табличный

   Пример 1.11   В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёров $ P_1$ и $ P_2$ каждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра. Пусть множества вариантов действий (эти варианты называются стратегиями) партнёров конечны: $ P_1$ может выбирать одну из стратегий из множества $ {\mathrm A}=\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_m\}$, а $ P_2$ -- из множества $ {\mathrm B}=\{{\beta}_1,\dots,{\beta}_n\}$. Если $ P_1$ выбрал стратегию $ {\alpha}_i\; (i=1,...,m)$, а $ P_2$ -- стратегию $ {\beta}_j\; (j=1,...,n)$, то однозначно определены выигрыши: у первого партнёра он равен числу $ u_{ij}=f_1({\alpha}_i,{\beta}_j)$, а у второго -- числу $ v_{ij}=f_2({\alpha}_i,{\beta}_j)$. Рассмотрим функцию $ f: {\mathrm A}\times{\mathrm B}\to\mathbb{R}^2$, такую что
$\displaystyle f:({\alpha}_i,{\beta}_j)\mapsto(f_1({\alpha}_i,{\beta}_j),f_2({\alpha}_i,{\beta}_j))=(u_{ij},v_{ij}).$
Эта функция называется функцией выигрышей или платёжным отображением игры. Её можно полностью задать, сведя все данные в таблицу вида
$ {\mathrm A}\diagdown {\mathrm B}$$ {\beta}_1$$ {\beta}_2$$ \dots$$ {\beta}_n$
$ {\alpha}_1$$ (u_{11},v_{11})$$ (u_{12},v_{12})$$ \dots$ $ (u_{1n},v_{1n})$
$ {\alpha}_2$$ (u_{21},v_{21})$$ (u_{22},v_{22})$$ \dots$$ (u_{2n},v_{2n})$
$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$
$ {\alpha}_m$$ (u_{m1},v_{m1})$$ (u_{m2},v_{m2})$$ \dots$$ (u_{mn},v_{mn})$

то есть задав одну матрицу, элементы которой -- пары чисел $ (u_{ij},v_{ij})$, или же задав две числовые матрицы $ f_1$ и $ f_2$ размера $ m\times n$:
$\displaystyle f_1=\begin{pmatrix} u_{11}&u_{12}&\dots&u_{1n}\\ u_{21}&u_{22}... ...\\ \dots &\dots &\dots&\dots\\ v_{m1}&v_{m2}&\dots&v_{mn} \end{pmatrix}. $

 

 

Основные обозначения и определения Функции и их графики

Пример 1.8 Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
Графиком $ {\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $ A\times\mathbb{R}$. Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $ \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$. Обозначим координаты точек в $ \mathbb{R}^3$ через $ x_1,x_2,y$. Тогда графику $ {\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $ y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $ x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Множество $ Г_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $ (0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.


Рис.1.7.График расстояния до точки $ O$-- это конус


Как мы видим, в случае, когда $ A$-- подмножество плоскости $ \mathbb{R}^2$, график числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$-- это подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$. Если же $ A$-- подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$, то графиком числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество $ {\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $ A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график $ {\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды