дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

  Упражнение 6.1   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=\ln(1+x)$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение
$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+ (1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x).$
    
        Упражнение 6.2   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=(1+x)^{{\alpha}}$ при фиксированном $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение
$\displaystyle (1+x)^{{\alpha}}=1+{\alpha}x+\frac{{\alpha}({\alpha}-1)}{1\cdot2}... ...alpha}({\alpha}-1)\ldots({\alpha}-n+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}x^n+ R_n(x).$
    
        Упражнение 6.3   Покажите, что разложения по формуле Тейлора для функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ выглядят так:
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots+ \dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x)$
и
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots+ \frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$
Сравните найденные разложения с разложениями для $ \sin x$, $ \cos x$ и $ e^x$.     

На основе полученных разложений можно получать и разложения многих других функций.

        Пример 6.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,
$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём $ z=x^2$:
$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2). $
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:
$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример 6.2   Найдём предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$
Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:
$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$
где через $ r_3(x)$ обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и $ x^3$. Разложение для знаменателя имеет вид:
$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$
где остаточные члены $ s_3(x)$ и $ t_3(x)$ тоже имеют тот же порядок малости, что и $ x^3$, при $ x\to0$. Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен
$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$
Итак,
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$   
 

Заметим, что этот способ раскрытия неопределённостей типа $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ в некоторых случаях, подобных разобранному в примере, менее трудоёмок, чем применение правила Лопиталя.

 

Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

 

Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды