дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
 

Многочлен Тейлора


Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

\begin{multline} P(x)= a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+a_{n-2}(x-x_0)^{n-2}+\ldots+\\ +a_2(x-x_0)^2+a_1(x-x_0)+a_0 \end{multline}

при некоторых коэффициентах $ a_k$, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора $ a_k$ по значениям производных данной функции в точке $ x_0$.

Учтём требование к значению многочлена: $ P(x_0)=f(x_0)$. Подставив в равенство (Тейлор 1) $ x=x_0$, получим, что $ P(x_0)=a_0$, так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

$\displaystyle a_0=f(x_0).$

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P'(x)= na_n(x-x_0)^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+(n-2)a_{n-2}(x-x_0)^{n-3}+\\ +\ldots+2a_2(x-x_0)+a_1. \end{multline}

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение $ x=x_0$, получим, что $ P'(x_0)=a_1$, так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

$\displaystyle a_1=f'(x_0).$

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: $ {P''(x_0)=f''(x_0)}$. Вторая производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P''(x)= n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}(x-x_0)^{n-3}+\\ +(n-2)(n-3)a_{n-2}(x-x_0)^{n-4}+\ldots+2a_2. \end{multline}

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение $ x_0$, получим, что $ P''(x_0)=2a_2$, откуда

$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}f''(x_0).$

Далее нетрудно сообразить, что получится $ P'''(x_0)=3\cdot2a_3=f'''(x_0)$, откуда

$\displaystyle a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0),$

и вообще,

$\displaystyle 84 a_k=\frac{1}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}f^{(k)}(x_0),$   
 


при $ k=3,4,\dots,n$. Учитывая, что $ 0!=1$, $ 1!=1$, $ 2!=2$, $ 3!=2\cdot3$, ..., последнюю формулу можно записать в виде

$\displaystyle 85 a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0),\; k=0,1,2,\dots,n.$   
 


Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ имеет вид

$\displaystyle P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$

 

Кривые и поверхности второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

        Определение 12.1   Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка
$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$ (12.1)

где $ a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g$ -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел $ {a,\,b,\,c}$ отлично от нуля.         

Исследование уравнения (12.1) в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Изучению этих кривых в "удобной" системе координат и посвящена данная глава.





 


Неопределенный интегралВекторное произведение векторов

Трассировка пиксельных изображений Adobe Illustrator Линейные блоковые коды